基于测度论推导X₁与n个独立同分布随机变量和的联合概率密度

咱们先把已知条件用严格的测度论语言明确下来：

• 给定概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, P)$，$n$个独立的可测映射$X_1, \dots, X_n: \Omega \to \mathbb{R}$（这里的“独立”指：对任意$\mathbb{R}$上的Borel集$B_1, \dots, B_n$，有$P(X_1 \in B_1, \dots, X_n \in B_n) = \prod_{i=1}^n P(X_i \in B_i)$）。
• 每个$X_i$的分布关于$\mathbb{R}$上的Lebesgue测度$\lambda$绝对连续，其Radon-Nikodym导数就是给定的密度函数$p: \mathbb{R} \to [0, +\infty)$，即对任意Borel集$B \subset \mathbb{R}$，$P(X_i \in B) = \int_B p(x) \lambda(dx)$。

接下来，我们要找$(X_1, t)$的联合分布关于$\mathbb{R}^2$上Lebesgue测度$\lambda_2$的Radon-Nikodym导数（也就是你要的联合密度），其中$t = \sum_{j=1}^n X_j$。

步骤1：写出$(X_1, \dots, X_n)$的联合分布密度 #

因为$X_1, \dots, X_n$独立且每个都关于$\lambda$绝对连续，它们的联合分布关于$\mathbb{R}^{n$上的Lebesgue测度$\lambda}n$绝对连续，联合密度为：
$$f_{X_1,\dots,X_n}(x_1, \dots, x_n) = p(x_1)p(x_2)\dots p(x_n)$$
换句话说，对任意$\mathbb{R}^n$上的Borel集$A$，有：
$$P((X_1, \dots, X_n) \in A) = \int_A p(x_1)\dots p(x_n) \lambda^n(dx_1, \dots, dx_n)$$

步骤2：将$(X_1, t)$看作$\mathbb{R}^{n$到$\mathbb{R}}2$的映射 #

定义可测映射$\pi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^2$为：
$$\pi(x_1, \dots, x_n) = \left(x_1, \sum_{j=1}^n x_j\right)$$
那么$(X_1, t) = \pi(X_1, \dots, X_n)$，它的分布就是$\pi$推送的联合分布测度，即对任意$\mathbb{R}^2$上的Borel集$C$：
$$P((X_1, t) \in C) = P\left((X_1, \dots, X_n) \in \pi^{-1}(C)\right)$$

步骤3：通过变量替换计算积分，得到联合密度 #

把$\pi^{-1}(C)$展开为：
$$\pi^{-1}(C) = \left{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid (x_1, x_1+x_2+\dots+x_n) \in C\right}$$
我们对这个集合上的联合积分做变量替换：固定$x_1$和$s = x_1+\dots+x_n$，则$x_n = s - x_1 - x_2 - \dots - x_{n-1}$。此时积分可拆分为对$(x_1, s)$的二重积分，以及对$x_2, \dots, x_{n-1}$的$n-2$重积分：
$$
\begin{align*}
P((X_1, t) \in C) &= \int_{\pi^{-1}(C)} p(x_1)\dots p(x_n) \lambda^n(dx_1, \dots, dx_n) \
&= \int_{(x_1, s) \in C} \left[ \int_{\mathbb{R}^{n-2}} p(x_1)p(x_2)\dots p(x_{n-1})p\left(s - x_1 - x_2 - \dots - x_{n-1}\right) \lambda^{n-2}(dx_2, \dots, dx_{n-1}) \right] \lambda_2(dx_1, ds)
\end{align*}
$$
根据Radon-Nikodym定理，里面的$n-2$重积分就是$(X_1, t)$的联合密度$f(x_1, s)$。

步骤4：用卷积简化密度表达式 #

注意到里面的$n-2$重积分，其实是$n-1$个独立同密度$p$的映射（对应$X_2, \dots, X_n$）的和的密度在点$s - x_1$处的值。我们把$p$的$k$次卷积记作$p^{*k}$，递归定义为：

• $p^{*1}(z) = p(z)$
• 对$k \geq 2$，$p^{*k}(z) = \int_{\mathbb{R}} p^{*k-1}(z - y) p(y) \lambda(dy)$

那么$X_2+\dots+X_n$的密度就是$p^{{*n-1}$，因此上面的$n-2$重积分等于$p}{*n-1}(s - x_1)$，再乘以外面的$p(x_1)$，最终联合密度为：
$$f(x, s) = p(x) \cdot p^{*n-1}(s - x)$$

特殊情况：n=1 #

当$n=1$时，$t = X_1$，此时$(X_1, t)$的分布集中在$\mathbb{R}^2$的对角线${(x, x) \mid x \in \mathbb{R}}$上，这个测度关于$\lambda_2$是奇异的，因此不存在关于$\lambda_2$的密度函数，需要特别注意。

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