关于Zeta函数与特殊集合Q(E)的等式证明及概念问询

第一步：搞懂$\alpha(p)$和$Q(E)$的定义 #

首先，你困惑的$\alpha(p)$其实是每个素数$p$在整数$n$的素因子分解中的指数。举个具体例子：如果$n=12=2^2 \times 3^1$，那对于素数2，$\alpha(2)=2$；对于素数3，$\alpha(3)=1$；对于其他素数（比如5、7），$\alpha(p)=0$（因为这些素数不在12的因子里）。

而集合$Q(E)$的定义是：所有满足「每个素数$p$的指数$\alpha(p)$都属于集合$E$」的整数$n$。针对你问题里的$E={0,1,2,5,6,7}$，这意味着：

• 任何素数$p$在$n$中的指数只能是0（即$n$不含$p$）、1、2、5、6、7这六个值之一；
• 比如$n=2^5 \times 3^{7$属于$Q(E)$，但$n=2}3$就不属于（因为3不在$E$里），甚至$n=1$也属于$Q(E)$（所有素数的指数都是0）。

第二步：Dirichlet级数与欧拉乘积的联系 #

你要证明的等式左边$\sum_{n\in Q(E)} \frac{1}{n^s}$是一个Dirichlet级数。对于这类由素因子指数限制定义的数集，我们可以用欧拉乘积来展开它——因为整数的素因子分解是唯一的，所以这个和可以拆成每个素数对应的「局部和」的乘积：

$$\sum_{n\in Q(E)} \frac{1}{n^s} = \prod_{p\text{ prime}} \left( \sum_{\alpha \in E} \frac{1}{p^{\alpha s}} \right)$$

代入$E={0,1,2,5,6,7}$，每个素数$p$对应的局部和就是：
$$1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{5s}} + \frac{1}{p^{6s}} + \frac{1}{p^{7s}}$$
（这里$\alpha=0$对应的项是$1/p^{0\times s}=1$）

第三步：处理右边的ζ函数表达式 #

右边是$\frac{\zeta(s)\zeta(5s)}{\zeta(3s)\zeta(10s)}$，先回忆Riemann ζ函数的欧拉乘积形式：
$$\zeta(k s) = \prod_{p\text{ prime}} \frac{1}{1 - \frac{1}{p^{k s}}}$$

把这个代入右边，我们可以把整个表达式拆成每个素数$p$对应因子的乘积：
$$\frac{\zeta(s)\zeta(5s)}{\zeta(3s)\zeta(10s)} = \prod_{p\text{ prime}} \left( \frac{\frac{1}{1-p^{-s}} \times \frac{1}{1-p^{{-5s}}}{\frac{1}{1-p}{-3s}} \times \frac{1}{1-p^{-10s}}} \right)$$

化简每个素数对应的因子：
$$\frac{(1-p^{-3s})(1-p{-10s})}{(1-p^{-s})(1-p{-5s})}$$

第四步：证明局部因子相等 #

现在我们只需要证明，对于每个素数$p$，下面两个式子相等：
$$1 + p^{-s} + p^{-2s} + p^{-5s} + p^{-6s} + p^{-7s} = \frac{(1-p^{-3s})(1-p{-10s})}{(1-p^{-s})(1-p{-5s})}$$

为了简化计算，令$x = p^{-s}$，问题转化为证明：
$$1 + x + x^2 + x^5 + x^6 + x^7 = \frac{(1-x^3)(1-x{10})}{(1-x)(1-x^5)}$$

我们通过多项式乘法验证右边展开后等于左边：

• 分子：$(1-x^3)(1-x{10}) = 1 - x^3 - x^{10} + x^{13}$
• 分母：$(1-x)(1-x^5) = 1 - x - x^5 + x^6$

把左边的多项式乘以分母，逐项展开并合并同类项后，中间交叉项会全部抵消，最终得到：
$$1 - x^3 - x^{10} + x^{13}$$
这正好等于分子$(1-x^3)(1-x{10})$。

结论 #

因为每个素数$p$对应的局部因子都相等，所以它们的欧拉乘积（也就是等式两边的Dirichlet级数）必然相等，即：
$$\sum_{n\in Q(E)} \frac {1}{n^s} =\frac{\zeta(s)\zeta(5s)}{ \zeta (3s) \zeta (10s )}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Faust