求证0<q≤p<∞时的重积分不等式：Fubini与Holder应用困惑

这是经典的Lp空间重积分反向不等式（常和Minkowski积分不等式的对偶形式关联），咱们一步步拆解证明思路，同时解决你关于p、q范围的疑问：

问题重述 #

我们需要证明：对于可测函数$f: X \times Y \to \mathbb{C}$（或$\mathbb{R}$），当$0 < q ≤ p < ∞$时，
$$
\Big(\int_X \Big(\int_Y |f(x,y)|^qdy\Big)\frac{p}{q}dx\Big)^\frac{1}{p} \leq \Big(\int_Y \Big(\int_X |f(x,y)|^pdx\Big)\frac{q}{p}dy\Big)^\frac{1}{q}
$$
用你定义的$f_x(y)=f(x,y)$、$f_y(x)=f(x,y)$，上式可简写为：
$$
\Big|\Big|||f_x||_q\Big|\Big|_p \leq \Big|\Big|||f_y||_p\Big|\Big|_q
$$

分情况证明 #

1. 当$p=q$时：等式直接成立 #

此时两边的表达式完全一致，根据Fubini-Tonelli定理（非负函数积分交换顺序不改变结果，即使积分值为无穷），交换$X$和$Y$的积分顺序后，左右两边相等，不等式自然成立。

2. 当$0 < q < p < ∞$时：利用Holder不等式+Tonelli定理 #

令$r = \frac{p}{q} > 1$（因为$q < p$），记左边的范数为$||F||_p$，其中$F(x) = ||f_x||_q = \left(\int_Y |f(x,y)|^q dy\right)^{1/q}$，右边的范数为$||G||_q$，其中$G(y) = ||f_y||_p = \left(\int_X |f(x,y)|^p dx\right)^{1/p}$。

我们的目标是证明$||F||_p ≤ ||G||_q$，步骤如下：

1. 先展开左边的$p$次方：
   $$
   ||F||_p^p = \int_X F(x)^p dx = \int_X \left(\int_Y |f(x,y)|^q dy\right)^r dx
   $$
2. 利用非负函数的Tonelli定理交换积分顺序（无需可积性条件，无穷积分也适用）：
   $$
   ||F||_p^p = \int_Y \int_X |f(x,y)|^q \cdot \left(\int_Y |f(x,y')|^q dy'\right)^{r-1} dx dy
   $$
3. 对固定的$y$，对内层积分应用Holder不等式（指数$r$和其共轭指数$r' = \frac{r}{r-1}$）：
   注意到$r-1 = \frac{p-q}{q}$，且$|f(x,y)|^q = |f(x,y)|^{\frac{p}{r}}$，$\left(\int_Y |f(x,y')|^q dy'\right)^{r-1} = F(x)^{p-q} = (F(x)^p){1-\frac{1}{r}}$。代入Holder不等式得：
   $$
   \int_X |f(x,y)|^q \cdot F(x)^{p-q} dx ≤ \left(\int_X |f(x,y)|^p dx\right)^{\frac{1}{r}} \cdot \left(\int_X F(x)^p dx\right)^{1-\frac{1}{r}}
   $$
   也就是：
   $$
   \int_X |f(x,y)|^q \cdot F(x)^{p-q} dx ≤ G(y)^{\frac{p}{r}} \cdot ||F||_p^{p(1-\frac{1}{r})}
   $$
4. 将上式代回$||F||_p^p$的表达式：
   $$
   ||F||_p^p ≤ ||F||_p^{p(1-\frac{1}{r})} \cdot \int_Y G(y)^{\frac{p}{r}} dy
   $$
5. 两边约去$||F||_p^{p(1-\frac{1}{r})}$（若$||F||_p = ∞$，不等式显然成立；若$||F||_p < ∞$，约去后仍成立）：
   $$
   ||F||_p^{\frac{p}{r}} ≤ \int_Y G(y)^{\frac{p}{r}} dy
   $$
   由于$\frac{p}{r} = q$，两边开$q$次方后直接得到：
   $$
   ||F||_p ≤ ||G||_q
   $$

关于p、q范围的疑问解答 #

你担心Holder不等式仅适用于$(1,∞)$区间，但实际上：

• 我们通过变量替换$r = \frac{p}{q}$将问题转化为$r ≥1$的情况，此时Holder不等式的标准形式完全适用；
• 对于$q ≤1$的场景，Tonelli定理的非负性保证了积分交换的合法性，无需额外的可积性条件；
• 即使$p=1$（此时$r = \frac{1}{q} ≥1$），上述推导依然成立——因为当$p=1$时，Holder不等式的共轭指数为$∞$，对应的不等式$\int |ab| ≤ ||a||_1 ||b||_∞$同样有效。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Both Htob