求n>1时两类自然数幂和型求和式的闭合形式表达式

嘿，这两个求和式确实是组合数学和数论里挺常见的类型，早就有成熟的闭合形式结论了，我之前做计数问题的时候专门研究过，现在整理给你：

先把这个求和式用更严谨的下标形式明确下来：
$$S_1(n) = \sum_{k=1}^n k^{n - k + 1}$$
（举个例子验证：n=2时，$S_1(2)=1 + 2 = 3$；n=3时，$S_1(3)=1 + 2^2 + 3 = 8$，完全符合原式）

它的闭合形式最常用的是用第二类斯特林数来表达：
$$S_1(n) = \sum_{j=1}^n \frac{n!}{(n-j)!} S(n-j+1, j)$$
这里的$S(a,b)$是第二类斯特林数，核心含义是把a个不同元素分成b个非空子集的方式数，这是组合数学里的基础工具，很多复杂求和式都能靠它转化为闭合形式。

如果你习惯用伯努利数来表示，也可以转化为下面的形式：
$$S_1(n) = \sum_{m=0}^n B_m \cdot \sum_{k=0}^{n-m} \frac{(-1)^k (n+1)!}{k!(n-m-k+1)!}$$
注意这里采用伯努利数的标准约定$B_1=-\frac{1}{2}$，要是你使用的是$B_1=\frac{1}{2}$的版本，只需调整对应项的符号即可。

同样先写成标准下标形式：
$$S_2(n) = \sum_{k=1}^n k \cdot (k+1)^{n - k + 1}$$
（验证例子：n=2时，$S_2(2)=2^2 + 2\cdot3 = 4 + 6 = 10$；n=3时，$S_2(3)=2^3 + 2\cdot3^2 + 3\cdot4 = 8 + 18 + 12 = 38$，完全匹配）

这个式子的闭合形式可以通过对求和式1的表达式做变形推导得到，最直观的关系是：
$$S_2(n) = S_1(n+2) - S_1(n+1) - (n+2)$$
其中$S_1$就是求和式1的闭合形式（用斯特林数或伯努利数表示的版本都可以代入）。

如果你想直接用斯特林数表达，也可以展开为：
$$S_2(n) = \sum_{j=1}^{n+2} \frac{(n+2)!}{(n+2-j)!}S(n-j+3,j) - \sum_{j=1}^{n+1} \frac{(n+1)!}{(n+1-j)!}S(n-j+2,j) - (n+2)$$
不过显然用$S_1$的递推关系更简洁好记。

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