请求求解分式积分$rac{v-1}{v(1+(v-1)^{4})}$，拆分后无法推进

嘿，我来帮你搞定这个积分！直接拆分原分式确实容易卡壳，换元法会更顺畅，咱们一步步来：

步骤1：变量替换简化式子 #

先做个简单换元，令 $u = v - 1$，这样 $v = u + 1$，$dv = du$。代入原积分后，原式就变成了：
$$
\int \frac{u}{(u+1)(1+u^4)} du
$$
是不是瞬间清爽多了？

步骤2：部分分式分解 #

接下来对这个新的被积函数做部分分式拆分。首先我们先把 $u^4 + 1$ 因式分解（这是四次多项式里很常见的分解技巧）：
$$
u^4 + 1 = (u^2 + \sqrt{2}u + 1)(u^2 - \sqrt{2}u + 1)
$$
不过先不用急着拆到二次项，先把分式拆成如下形式：
$$
\frac{u}{(u+1)(u^4+1)} = \frac{A}{u+1} + \frac{Bu^3 + Cu^2 + Du + E}{u^4+1}
$$
通分后让两边分子相等：
$$
u = A(u^4+1) + (Bu^3+Cu2+Du+E)(u+1)
$$
展开右边并整理同类项，对比两边系数就能解出A、B、C、D、E的值：

• 解出来的结果是：$A=-\frac{1}{2}$，$B=\frac{1}{2}$，$C=-\frac{1}{2}$，$D=\frac{1}{2}$，$E=\frac{1}{2}$

代入拆分后的式子，提取分子的$\frac{1}{2}$简化一下：
$$
\frac{u}{(u+1)(u^4+1)} = -\frac{1}{2(u+1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^3 - u^2 + u + 1}{u^4+1}
$$

步骤3：拆分多项式分式，逐个积分 #

把$\frac{u^3 - u^2 + u + 1}{u^4+1}$拆成两个可积分的部分：
$$
\frac{u^3 - u^2 + u + 1}{u^4+1} = \frac{u^3 + u}{u^4+1} - \frac{u^2 - 1}{u^4+1}
$$
现在分别处理这两个分式：

第一个分式：$\frac{u^3 + u}{u^4+1}$ #

拆成$\frac{u^3}{u4+1} + \frac{u}{u^4+1}$：

• $\int \frac{u^3}{u4+1} du$：一眼就能看出来分子是分母导数的$\frac{1}{4}$，直接积分得$\frac{1}{4}\ln|u^4+1| + C_1$
• $\int \frac{u}{u^4+1} du$：换元$t=u^2$，$dt=2udu$，积分就变成$\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+1} = \frac{1}{2}\arctan(u^2) + C_2$

第二个分式：$\frac{u^2 - 1}{u^4+1}$ #

这里用个小技巧，分子分母同除以$u^2$：
$$
\frac{1 - \frac{1}{u^2}}{u2 + \frac{1}{u^2}} = \frac{1 - \frac{1}{u^2}}{(u + \frac{1}{u})^2 - 2}
$$
换元$w = u + \frac{1}{u}$，则$dw = (1 - \frac{1}{u^2})du$，积分就变成了常见的分式积分：
$$
\int \frac{dw}{w^2 - 2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{w - \sqrt{2}}{w + \sqrt{2}}\right| + C_3
$$
再把$w$代回$u$，整理一下里面的分式：
$$
= \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{u^2 - \sqrt{2}u + 1}{u^2 + \sqrt{2}u + 1}\right| + C_3
$$

步骤4：合并结果，代回原变量 #

把所有积分结果整合起来，再把$u = v - 1$代回去（注意$u+1 = v$，所以$\ln|u+1|=\ln|v|$）：

$$
\int \frac{v-1}{v(1+(v-1)^4)} dv = -\frac{1}{2}\ln|v| + \frac{1}{8}\ln|1+(v-1)^4| + \frac{1}{4}\arctan((v-1)^2) - \frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{(v-1)^2 - \sqrt{2}(v-1) + 1}{(v-1)^2 + \sqrt{2}(v-1) + 1}\right| + C
$$

如果想要更简洁的形式，可以把对数项合并：
$$
= \frac{1}{8}\ln\frac{|1+(v-1)^4|}{|v|4} + \frac{1}{4}\arctan((v-1)^2) - \frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{(v-1)^2 - \sqrt{2}(v-1) + 1}{(v-1)^2 + \sqrt{2}(v-1) + 1}\right| + C
$$

这样就得到了完整的原函数啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user524745