请求证由矩阵李群同构诱导的φ:𝔤→𝔥是李代数同构（需步骤提示）

嘿，作为李代数入门者，这个问题确实是打通李群与李代数联系的核心环节，我来一步步给你拆解，尽量讲得通俗易懂～

首先我们先明确几个关键定义，避免混淆：

• 李群同构$\Phi:G\rightarrow H$是双射的群同态，同时也是微分同胚（光滑且逆光滑）。
• 李代数$\mathfrak{g}$是$G$的单位元$e_G$处的切空间，元素$X\in\mathfrak{g}$对应$G$的单参数子群exp(tX)（满足exp(0)=e_G，exp(s+t)=exp(s)exp(t)的光滑曲线），$X$就是这条曲线在$t=0$处的切向量：X = d/dt|_{t=0} exp(tX)。
• 诱导映射$\varphi:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{h}$的定义：对任意$X\in\mathfrak{g}$，φ(X) = d/dt|_{t=0} Φ(exp(tX))——因为$\Phi$是群同态，Φ(exp(tX))是$H$中的单参数子群，它的生成元就是$\varphi(X)$。

接下来分三步证明$\varphi$是李代数同构（即线性双射+保持李括号）：

1. 证明$\varphi$是线性映射 #

对任意$X,Y\in\mathfrak{g}$，实数$a,b\in\mathbb{R}$，我们需要验证φ(aX + bY) = aφ(X) + bφ(Y)：

• 首先，$G$中的单参数子群满足：d/dt|_{t=0} exp(t(aX + bY)) = aX + bY（这是切空间线性性的直接体现）。
• 利用$\Phi$的群同态性质：Φ(exp(t(aX + bY))) = Φ(exp(taX)exp(tbY))（严格来说可通过导数线性性推导），而群同态保持乘积，所以等于Φ(exp(taX))Φ(exp(tbY))。
• 对$t$求导在$t=0$处，用乘积求导法则：d/dt|_{t=0} A(t)B(t) = A'(0)B(0) + A(0)B'(0)，这里A(t)=Φ(exp(taX))，B(t)=Φ(exp(tbY))，而A(0)=Φ(e_G)=e_H，B(0)=e_H，所以导数就是a·d/dt|_{t=0}Φ(exp(tX)) + b·d/dt|_{t=0}Φ(exp(tY)) = aφ(X) + bφ(Y)。
• 因此φ(aX + bY) = aφ(X) + bφ(Y)，$\varphi$是线性映射。

2. 证明$\varphi$是双射（线性同构） #

因为$\Phi$是李群同构，所以它有逆映射$\Psi:H\rightarrow G$，也是李群同构，$\Psi$会诱导出自己的李代数映射$\psi:\mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{g}$，定义为ψ(Y) = d/dt|_{t=0} Ψ(exp(tY))。

• 验证$\psi$是$\varphi$的逆：对任意$X\in\mathfrak{g}$，ψ(φ(X)) = d/dt|_{t=0} Ψ(Φ(exp(tX))) = d/dt|_{t=0} exp(tX) = X（因为$\Psi\circ\Phi$是$G$上的恒等映射）。
• 同理，对任意$Y\in\mathfrak{h}$，φ(ψ(Y)) = Y。
• 这说明$\varphi$既是单射又是满射，结合线性性，$\varphi$是线性同构。

3. 证明$\varphi$保持李括号（即φ([X,Y]) = [φ(X), φ(Y)]） #

这是李代数同构的核心要求，我们用单参数子群的交换子导数来证明：

• 李括号的一个等价定义：对$X,Y\in\mathfrak{g}$，[X,Y] = d/ds|_{s=0} d/dt|_{t=0} exp(sX)exp(tY)exp(-sX)exp(-tY)，简单来说就是两个单参数子群交换子的二阶导数。
• 对这个交换子应用$\Phi$，得到Φ(exp(sX)exp(tY)exp(-sX)exp(-tY)) = exp(sφ(X))exp(tφ(Y))exp(-sφ(X))exp(-tφ(Y))（$\Phi$是群同态，保持乘积和逆）。
• 先对$t$求导在$t=0$，得到d/dt|_{t=0} Φ(...) = Φ(d/dt|_{t=0} exp(sX)exp(tY)exp(-sX)) = Φ(Ad(exp(sX))Y)，其中Ad(g)Y是伴随作用，即$gYg^{-1}$对应的李代数元素。
• 再对$s$求导在$s=0$，左边是d/ds|_{s=0} Φ(Ad(exp(sX))Y) = dΦ_e(d/ds|_{s=0} Ad(exp(sX))Y) = φ([X,Y])（因为伴随作用的导数就是李括号：d/ds|_{s=0}Ad(exp(sX))Y = [X,Y]）。
• 右边对$s$求导在$s=0$，得到d/ds|_{s=0} Ad(exp(sφ(X)))φ(Y) = [φ(X), φ(Y)]（同样的伴随作用导数性质）。
• 因此φ([X,Y]) = [φ(X), φ(Y)]，$\varphi$保持李括号。

综上，$\varphi$是线性双射且保持李括号，所以$\varphi$是李代数同构。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user531052