掷两枚骰子：求随机变量S=X+Y的概率质量函数、均值及方差
嘿，我来帮你拆解这个两枚骰子的概率问题，咱们分三个小部分一步步来解：
(a) 随机变量$S$的概率质量函数$p(s_j)$
首先，$S$是两枚骰子的点数之和，取值范围从2（两枚都是1点）到12（两枚都是6点）。抛掷两枚骰子总共有$6×6=36$种等可能的结果，我们可以列出每个$S$值对应的可能组合数，进而得到概率：
| $s$ | 对应的点数组合 | 组合数量 | 概率$p(s)$ |
|---|---|---|---|
| 2 | (1,1) | 1 | $1/36$ |
| 3 | (1,2), (2,1) | 2 | $2/36=1/18$ |
| 4 | (1,3), (2,2), (3,1) | 3 | $3/36=1/12$ |
| 5 | (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) | 4 | $4/36=1/9$ |
| 6 | (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) | 5 | $5/36$ |
| 7 | (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) | 6 | $6/36=1/6$ |
| 8 | (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) | 5 | $5/36$ |
| 9 | (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) | 4 | $4/36=1/9$ |
| 10 | (4,6), (5,5), (6,4) | 3 | $3/36=1/12$ |
| 11 | (5,6), (6,5) | 2 | $2/36=1/18$ |
| 12 | (6,6) | 1 | $1/36$ |
简单来说，$S$的概率分布关于7对称，中间的7概率最高，两端的2和12概率最低。
(b) 随机变量$S$的均值$E[S]$
这里有两种计算方式，推荐用期望的线性性质，更简便：
因为$S=X+Y$，且$X$（第一枚骰子点数）和$Y$（第二枚骰子点数）是独立同分布的随机变量，所以：
$$E[S] = E[X+Y] = E[X] + E[Y]$$
单个骰子的期望$E[X]$是：
$$E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5$$
同理$E[Y]=3.5$，所以：
$$E[S] = 3.5 + 3.5 = 7$$
如果直接用概率质量函数计算验证：
$$E[S] = \sum_{s=2}^{12} s \cdot p(s)$$
代入数值计算后结果也是7，和线性性质得到的结论一致。
(c) 随机变量$S$的方差$V[S]$
同样利用方差的性质：当两个随机变量独立时，它们和的方差等于方差之和，即：
$$V[S] = V[X+Y] = V[X] + V[Y]$$
先计算单个骰子的方差$V[X]$，方差公式为$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$：
首先计算$E[X^2]$：
$$E[X^2] = \frac{12+22+32+42+52+62}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$$
已知$(E[X])^2 = 3.5^2 = \frac{49}{4}$，所以：
$$V[X] = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182-147}{12} = \frac{35}{12}$$
因为$X$和$Y$同分布，$V[Y]=\frac{35}{12}$，所以：
$$V[S] = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{70}{12} = \frac{35}{6} \approx 5.833$$
同样可以用直接计算$E[S^2] - (E[S])^2$验证，结果也是$\frac{35}{6}$，两种方法一致。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rebellos
