证明由局部常值映射定义的预层确实是层

好的，咱们来把这个证明捋得明明白白的——你已经找对了方向，限制映射就是普通的函数限制，预层公理确实没啥难度，关键就是搞定层的粘合公理（也就是第二个核心条件）。下面一步步来：

第一步：先确认$\mathcal{F}$是预层 #

预层的两个核心要求很容易验证：

• 限制到自身的恒等性：对任意开集$U$，把$\mathcal{F}(U)$里的映射$f$限制到$U$本身，得到的就是$f$自己，显然满足$\text{res}_{U,U}(f)=f$。
• 限制的相容性：假设$U \supset V \supset W$都是$X$的开集，$f \in \mathcal{F}(U)$。首先$f|V$肯定属于$\mathcal{F}(V)$——因为$f$是局部常值的，每个$p\in V$在$U$里有邻域$V_p\subset U$使得$f|{V_p}$常值，那$V_p\cap V$就是$p$在$V$里的邻域，$f|_{V_p\cap V}$也是常值，所以$f|_V$局部常值。然后$(f|V)|W$和$f|W$完全是同一个映射，自然相等，满足$\text{res}{V,W}(\text{res}{U,V}(f))=\text{res}{U,W}(f)$。

所以预层的两个公理都满足，$\mathcal{F}$确实是一个预层。

第二步：验证层的粘合公理（关键部分） #

层比预层多了一个粘合公理，咱们把它拆成存在性和唯一性两部分来证：

存在性：构造满足条件的全局映射 #

假设${U_i}{i\in I}$是开集$U$的一个开覆盖，每个$U_i$上有局部常值映射$f_i\in\mathcal{F}(U_i)$，而且对任意$i,j$，$f_i$和$f_j$在$U_i\cap U_j$上的限制相等（也就是$f_i|{U_i\cap U_j}=f_j|_{U_i\cap U_j}$）。

我们这样定义$f: U\to S$：对任意$p\in U$，因为${U_i}$是覆盖，总能找到某个$i$使得$p\in U_i$，令$f(p)=f_i(p)$。

首先得确认这个定义是良定的（不会因为选不同的$i$得到不同的值）：如果$p$同时在$U_i$和$U_j$里，根据条件$f_i|{U_i\cap U_j}=f_j|{U_i\cap U_j}$，所以$f_i(p)=f_j(p)$，不管选哪个$i$，$f(p)$的取值都是一致的，没问题。

接下来要证明$f$是局部常值的，也就是属于$\mathcal{F}(U)$：任取$p\in U$，选一个包含$p$的$U_i$，因为$f_i$是局部常值的，所以存在开集$V\subset U_i$，$p\in V$，使得$f_i|_V$是常值映射。而$f|_V=f_i|_V$（因为$V\subset U_i$，$f$在$V$上的取值就是$f_i$的取值），所以$f|_V$也是常值映射。这就说明$f$在每个点$p$处都有一个开邻域使得$f$在上面是常值的，因此$f\in\mathcal{F}(U)$。

唯一性：证明这样的$f$是唯一的 #

假设还有另一个映射$g\in\mathcal{F}(U)$，满足对每个$i$，$g|{U_i}=f_i$。那对任意$p\in U$，找一个包含$p$的$U_i$，就有$g(p)=g|{U_i}(p)=f_i(p)=f(p)$。也就是说，$g$和$f$在$U$的每个点上取值都一样，所以$g=f$，唯一性得证。

这样一来，层的所有条件都满足了，$\mathcal{F}$确实是$X$上的一个层。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Question