解析几何问题：平行四边形ABCD中|AE|=|EB|，已知A、C坐标求P点坐标及定理

首先结合这类平行四边形中点交点问题的常见设定，我们假设P是线段DE与AC的交点（E为AB中点），下面用向量法推导P点坐标：

1. 推导P点坐标 #

设向量$\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AC}$，则P点的坐标可表示为：

P = A + λ(C - A)

代入A(2,1)、C(-1,5)的坐标，展开得：

P = (2 - 3λ, 1 + 4λ)

接下来利用D、P、E三点共线的条件推导λ的值：

• 因为E是AB中点，所以$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$；
• 在平行四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$，且$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$，因此$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$；
• 线段DE的向量表达式可转换为：$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}) - \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AD}$；
• 同时，$\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AD} = \lambda \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}$。

由于D、P、E共线，存在实数k使得$\overrightarrow{DP} = k\overrightarrow{DE}$，代入后整理可得：

(λ - k/2)·$\overrightarrow{AC}$ + (-1 + 3k/2)·$\overrightarrow{AD}$ = 0

因为$\overrightarrow{AC}$与$\overrightarrow{AD}$不共线，所以系数必须为0：

• 由$-1 + 3k/2 = 0$得$k = 2/3$；
• 代入$\lambda - k/2 = 0$得$\lambda = 1/3$。

最后将$\lambda=1/3$代入P点坐标表达式，得到：

P = (2 - 3*(1/3), 1 + 4*(1/3)) = (1, 7/3)

2. 适用的特定定理 #

针对这个问题，有几个核心定理可以简化推导：

• 向量共线定理：若三点共线，则其中两点的向量差可表示为另两点向量差的实数倍，这是我们推导交点比例的核心依据；
• 梅涅劳斯定理：如果一条直线与三角形的三边（或延长线）相交，那么各边被交点分成的线段比例的乘积为1。例如对△ADC，直线DEP与三边相交，可快速算出AP与PC的比例；
• 平行四边形性质定理：平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，向量$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$，这些性质帮助我们完成向量之间的转换。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Clair