基于驻相法近似积分主导行为并确定其对n的依赖关系

咱们先把问题里的积分转成复指数实部的形式，这一步你已经做对了：
$$
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(nt-\lambda\cos t) dt = \text{Re}\left[ \int_{-\pi/2}^{{\pi/2} e}{i(nt-\lambda\cos t)} dt \right], \quad \lambda \to \infty
$$

接下来聚焦处理复积分$I(\lambda) = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{i(nt - \lambda\cos t)} dt$，驻相法的核心是找相位函数的驻点——也就是相位对$t$的导数为0的位置，因为当$\lambda$很大时，只有驻点附近的区域会对积分有主导贡献，远离驻点的地方相位振荡太剧烈，积分会相互抵消。

步骤1：找驻点 #

写出完整的相位函数$\phi(t) = nt - \lambda\cos t$，对$t$求导：
$$
\phi'(t) = n + \lambda\sin t
$$
令导数为0，解出驻点$t_0$：
$$
\sin t_0 = -\frac{n}{\lambda}
$$
因为$\lambda$趋向无穷大，$\frac{n}{\lambda}$是小量，所以$t_0$是接近0的小值，可以近似为$t_0 \approx -\frac{n}{\lambda} + o\left(\frac{1}{\lambda}\right)$。

步骤2：相位函数在驻点附近泰勒展开 #

把$\phi(t)$在$t_0$处展开到二阶项（驻相法主导项只需要到二阶）：
$$
\phi(t) = \phi(t_0) + \frac{1}{2}\phi''(t_0)(t-t_0)^2 + o\left((t-t_0)^2\right)
$$
计算各阶导数和驻点处的值：

• 二阶导数$\phi''(t) = \lambda\cos t$，代入$t_0$得$\phi''(t_0) = \lambda\cos t_0 \approx \lambda$（因为$t_0$很小，$\cos t_0 \approx 1 - \frac{t_0^2}{2} \approx 1$）
• 驻点处的相位$\phi(t_0) = nt_0 - \lambda\cos t_0$，代入$t_0 \approx -\frac{n}{\lambda}$和$\cos t_0 \approx 1 - \frac{n^2}{2\lambda2}$，得到：
  $$
  \phi(t_0) \approx -\frac{n^2}{\lambda} - \lambda\left(1 - \frac{n^2}{2\lambda2}\right) = -\lambda - \frac{n^2}{2\lambda} + o\left(\frac{1}{\lambda}\right)
  $$

步骤3：近似积分并计算高斯积分 #

把积分区间扩展到$(-\infty, \infty)$（驻点外的贡献可以忽略），令$u = t - t_0$，积分变成：
$$
I(\lambda) \approx e^{i\phi(t_0)} \int_{-\infty}^{\infty} e^{{i\frac{1}{2}\phi''(t_0)u}2} du
$$
这个高斯积分的标准结果是$\sqrt{\frac{2\pi}{i\phi''(t_0)}}$，代入$\phi''(t_0) \approx \lambda$，得到：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{{i\frac{\lambda}{2}u}2} du = \sqrt{\frac{2\pi}{i\lambda}} = \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}} e^{-i\pi/4}
$$

步骤4：取实部得到原积分的主导行为 #

把$\phi(t_0)$和积分结果代入$I(\lambda)$，再取实部：
$$
\text{Re}[I(\lambda)] \approx \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}} \text{Re}\left[ e^{-i\left(\lambda + \frac{n^2}{2\lambda} + \frac{\pi}{4}\right)} \right]
$$
化简后就是：
$$
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(nt-\lambda\cos t) dt \approx \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}} \cos\left( \lambda + \frac{n^2}{2\lambda} + \frac{\pi}{4} \right)
$$

参数$n$的依赖关系 #

从最终结果可以看出：

• 积分的主导振幅是$\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}}$，和$n$没有关系；
• $n$通过相位里的$\frac{n^2}{2\lambda}$项影响积分的振荡行为，$n$越大，这个相位修正项的平方增长越快；
• 当$n=0$时，结果退化为$\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda}} \cos\left( \lambda + \frac{\pi}{4} \right)$，和第一类零阶贝塞尔函数$J_0(\lambda)$的渐近展开一致（对应积分$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(-\lambda\cos t)dt = \pi J_0(\lambda)$，系数差异源于积分区间不同，核心行为匹配）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jade