证明随机过程为布朗运动：鞅结合莱维定理的可行性探讨

给定标准布朗运动$(B_t)_{t \geq 0}$，定义随机过程：
$$ X_t=\int_0^t\sin\left(\frac{1}{B_s}\right);ds+B_t. $$
你提到直接验证布朗运动定义加马尔可夫性质太繁琐，想靠证明$X_t$是鞅再用莱维定理来简化——遗憾的是，这条路走不通，具体原因我给你拆解清楚：

先明确莱维定理的核心要求 #

莱维定理的核心逻辑是：如果一个连续随机过程满足三个条件——初始值为0、是局部鞅、二次变差等于$t$，那它就是标准布朗运动。这里的局部鞅是关键前提，没有它定理根本用不了。

为什么$X_t$不满足前提？ #

我们先看$X_t$的微分形式（用伊藤公式就能推出来）：
$$ dX_t = \sin\left(\frac{1}{B_t}\right)dt + dB_t $$

1. $X_t$不是鞅（也不是局部鞅）
   鞅的核心是“无漂移”，也就是对任意$s \leq t$，$\mathbb{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s$。但$X_t$带有明确的非零漂移项$\sin(1/B_t)$：
   $$ \mathbb{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s + \int_s^t \mathbb{E}\left[\sin\left(\frac{1}{B_u}\right) \mid \mathcal{F}_s\right]du $$
   这里的条件期望绝对不是0——比如固定$B_s=x$，$\mathbb{E}[\sin(1/(x + (B_u-B_s)))]$是一个非零的数，因为正弦函数的对称性在这里被布朗运动的增量打破了。所以$\mathbb{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \neq X_s$，$X_t$根本不是鞅，自然也达不到局部鞅的要求。

2. 退一步说，$X_t$的二次变差确实等于$t$（因为漂移项是有限变差过程，不会贡献二次变差，只有$dB_t$的二次变差是$dt$），但没有“局部鞅”这个前提，莱维定理就没法套用。

那该怎么证明$X_t$是布朗运动？ #

其实你可以换个思路用Girsanov定理来简化，这是处理带漂移过程转布朗运动的常用工具：

• 先构造指数鞅$Z_t = \exp\left( -\int_0^t \sin\left(\frac{1}{B_s}\right)dB_s - \frac{1}{2}\int_0^t \sin^2\left(\frac{1}{B_s}\right)ds \right)$；
• 因为$\sin(1/B_s)$是有界的（绝对值不超过1），满足Novikov条件，所以$Z_t$是一个鞅；
• 在新测度$\mathbb{Q}$下（$\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} = Z_t$），根据Girsanov定理，$X_t$就是$\mathbb{Q}$-布朗运动；
• 最后验证$\mathbb{Q}$和原测度$\mathbb{P}$等价，且$X_t$在$\mathbb{P}$下的分布和标准布朗运动一致，就能完成证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user427574