给定类质点质量与位置时间函数，求0到7秒内外力做功

首先得指出你思路里的一个小错误：你写的$dW=m(6t-8)(3.0t − 4.0t^2 + 1.0t^3)dt$中，把位移元$dr$错误替换成了位置函数$x(t)dt$。实际上，位移元$dr$应该是速度乘以时间元，也就是$dr = v dt$，其中$v$是位置对时间的一阶导数（速度函数）。

下面用两种方法来求解这个问题：

方法一：直接积分变力做功 #

根据功的定义，变力做功的微元是$dW = F \cdot dr$，结合牛顿第二定律$F=ma$，以及$dr=vdt$，可以得到：
$$dW = m a v dt$$

步骤1：推导速度和加速度函数 #

已知位置函数$x(t) = 3.0t - 4.0t^2 + 1.0t^3$：

• 速度函数（一阶导数）：$v(t) = \frac{dx}{dt} = 3 - 8t + 3t^2$（单位：m/s）
• 加速度函数（二阶导数）：$a(t) = \frac{dv}{dt} = -8 + 6t$（单位：m/s²）

步骤2：展开并积分 #

将$a(t)$和$v(t)$相乘并整理：
$$a(t)v(t) = (6t-8)(3t^2-8t+3) = 18t^3 -72t^2 +82t -24$$

接下来对$m \cdot a(t)v(t)$从$t=0$到$t=7s$积分：
$$W = m \int_{0}^{7} (18t^3 -72t^2 +82t -24) dt$$

计算积分的原函数：
$$\int (18t^3 -72t^2 +82t -24) dt = \frac{9}{2}t^4 -24t^3 +41t^2 -24t$$

代入上下限$t=7$和$t=0$（$t=0$时原函数值为0）：
$$\text{积分结果} = \frac{9}{2}(7^4) -24(7^3) +41(7^2) -24(7) = 4413.5$$

最后乘以质量$m=7.0kg$：
$$W = 7 \times 4413.5 = 30894.5 , \text{J} \approx 3.09 \times 10^4 , \text{J}$$

方法二：利用动能定理（更简便） #

动能定理指出，合外力对物体做的功等于物体动能的变化量，即：
$$W = \Delta E_k = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$$

步骤1：计算初末速度 #

• $t=0$时，$v_1 = v(0) = 3 - 0 + 0 = 3 , \text{m/s}$
• $t=7s$时，$v_2 = v(7) = 3 - 8 \times7 +3 \times7^2 = 3 -56 +147 =94 , \text{m/s}$

步骤2：计算动能变化 #

$$W = \frac{1}{2} \times7 \times (94^2 -3^2) = 3.5 \times (8836 -9) = 3.5 \times8827 =30894.5 , \text{J}$$

两种方法得到的结果一致，验证了答案的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anazopyreo