分母含余弦函数的定积分分步推导及通用表达式求解

嘿，我来帮你一步步拆解这个定积分的通用推导方法，不管a的取值范围（只要积分收敛）都能用，再也不用局限于$a\cos^2x <1$的情况啦～

第一步：三角代换简化被积函数 #

先做个常用的正切代换：令 $t = \tan x$，那么 $\cos^2 x = \frac{1}{1+t^2}$，$dx = \frac{dt}{1+t^2}$。当x从0到$\frac{\pi}{2}$时，t从0趋向正无穷。把这些代入积分：
$$
\int_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{1}{\left(a \cos ^{2(x)+1\right)}m} , dx = \int_0^{+\infty} \frac{1}{\left(\frac{a}{1+t^2} + 1\right)^m} \cdot \frac{dt}{1+t^2}
$$
化简分母里的括号：$\frac{a}{1+t^2} +1 = \frac{a + 1 + t^2}{1+t2}$，所以整个式子可以整理成：
$$
\int_0^{+\infty} \frac{(1+t²⁾{m-1}}{(1+a + t²⁾m} dt
$$

第二步：从初始积分出发建立递推关系 #

先求最简单的情况——当m=1时的积分$I_1(a)$：
$$
I_1(a) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{a\cos^2x +1} = \int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+a) + t^2} = \frac{\pi}{2\sqrt{1+a}}
$$
接下来我们找递推公式，设$I_m(a) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{(a\cos^2x +1)^m}$，对a求导：
$$
\frac{dI_m}{da} = -m \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2x}{(a\cos2x +1)^{m+1}} dx
$$
注意到$\cos^2x = \frac{1}{a}(a\cos^2x +1 -1)$，把这个代入上式：
$$
\frac{dI_m}{da} = -\frac{m}{a} \left( I_m(a) - I_{m+1}(a) \right)
$$
整理一下就能得到递推公式：
$$
I_{m+1}(a) = I_m(a) + \frac{a}{m} \frac{dI_m}{da}
$$

第三步：推导通用表达式 #

有了初始积分$I_1(a)$和递推公式，我们可以推导出任意m对应的$I_m(a)$。最终的通用表达式可以用超几何函数${}_2F_1$表示（这也是Mathematica给出结果的形式）：
$$
I_m(a) = \frac{\pi}{2} (1+a)^{-m + \frac{1}{2}} {}_2F_1\left(m, m - \frac{1}{2}; 1; \frac{a}{1+a}\right)
$$
或者也可以写成另一种形式（当a>0时更直观）：
$$
I_m(a) = \frac{\pi}{2} \frac{\Gamma(m)}{\Gamma\left(m + \frac{1}{2}\right)} (1+a)^{-m + \frac{1}{2}} {}_2F_1\left(\frac{1}{2}, m; m + \frac{1}{2}; -\frac{1}{a}\right)
$$
这个表达式的适用范围是a > -1（因为当a ≤ -1时，分母在x=0处为$a+1 ≤0$，积分发散），完全不需要$a\cos^2x <1$的限制。

补充：负二项式展开的级数形式与通用表达式的联系 #

当$|a| <1$时，你之前尝试的负二项式展开是可行的：$(a\cos^2x +1)^{-m} = \sum_{k=0}^\infty \binom{-m}{k} a^k \cos^{2k}x$，逐项积分后得到：
$$
\sum_{k=0}^\infty \binom{-m}{k} a^k \cdot \frac{\sqrt{\pi} \Gamma(k+\frac{1}{2})}{2\Gamma(k+1)} = \frac{\pi}{2} {}_2F_1\left(m, \frac{1}{2}; 1; -a\right)
$$
这个级数形式其实是通用超几何表达式在$|a|<1$时的展开，两者可以通过超几何函数的恒等式（比如Euler变换）互相转化，本质是同一个结果的不同呈现形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Frey