特征空间维数疑问：给定矩阵的可对角化性及特征空间求解

咱们一步步来拆解这个问题，先从核心的可对角化判定逻辑入手，再逐个分析特征值对应的特征空间：

1. 先明确可对角化的核心条件 #

n阶矩阵能对角化的充要条件是：每个特征值的代数重数等于它的几何重数（几何重数就是对应特征空间的维数）。所以咱们得先算出矩阵$ A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & -1 \ 4 & 5 & -1 \ -4 & -4 & 2 \ \end{bmatrix} $的所有特征值，再对每个特征值计算几何重数，对比代数重数就行。

2. 计算矩阵A的特征值 #

先求特征多项式$|\lambda I - A|$：
$$
\lambda I - A = \begin{bmatrix} \lambda -5 & -4 & 1 \ -4 & \lambda -5 & 1 \ 4 & 4 & \lambda -2 \ \end{bmatrix}
$$
通过行列式展开化简后得到：
$$
|\lambda I - A| = (\lambda - 1)^2(\lambda - 10)
$$
所以特征值是：

• $\lambda=1$，代数重数为2
• $\lambda=10$，代数重数为1

3. 分析特征值$\lambda=1$的特征空间 #

你已经推导出方程$ x_1 + x_2 - \frac{x_3}{4} = 0 $，这里先给你明确：自由变量的数量确实等于特征空间的维数。因为齐次线性方程组解空间的维数 = 变量总数 - 系数矩阵的秩，这里变量数是3，系数矩阵（化简后只剩一行有效）的秩是1，所以特征空间维数是$3-1=2$，正好对应你选的2个自由变量。

接下来咱们具体推导特征空间的基：
令自由变量$x_2 = s$，$x_3 = t$（s、t为任意实数），代入方程可得$x_1 = \frac{t}{4} - s$，那么解可以表示为：
$$
\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \frac{t}{4} - s \ s \ t \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} -1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} \frac{1}{4} \ 0 \ 1 \end{bmatrix}
$$
为了避免分数，也可以把第二个基向量乘4，得到更简洁的基：$\begin{bmatrix} -1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 4 \end{bmatrix}$。所以$\lambda=1$的特征空间就是这两个向量张成的子空间，维数为2。

4. 分析特征值$\lambda=10$的特征空间 #

对于$\lambda=10$，解齐次方程组$(10I - A)\mathbf{x} = \mathbf{0}$，先写出矩阵：
$$
10I - A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & 1 \ -4 & 5 & 1 \ 4 & 4 & 8 \end{bmatrix}
$$
通过行变换化简后，得到有效方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \
x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
推导得$x_2 = -x_3$，$x_1 = -x_3$。令$x_3 = k$，则解为$\mathbf{x}=k\begin{bmatrix}-1\-1\1\end{bmatrix}$，所以$\lambda=10$的特征空间是这个向量张成的子空间，维数为1。

5. 最终判定可对角化 #

因为两个特征值的代数重数都等于几何重数：

• $\lambda=1$：代数重数2 = 几何重数2
• $\lambda=10$：代数重数1 = 几何重数1

所以矩阵$A$可以对角化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Robur_131