复合函数与SO(2)旋转矩阵的雅可比链式法则成立原因探究

让我们一步步拆解这个问题，先从通用的雅可比链式法则入手，再结合旋转矩阵的特性来解释这个特殊形式的合理性。

1. 回顾通用雅可比链式法则 #

首先明确基础规则：对于可微函数 $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 和 $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k$，复合函数 $f \circ g$ 的雅可比矩阵满足：

$$J_{f \circ g}(x) = J_{f}(g(x)) \circ J_{g}(x)$$
这里的 $\circ$ 表示矩阵乘法（因为雅可比矩阵本质是线性映射的矩阵表示，复合映射对应矩阵乘法操作）。

2. 分析旋转函数 $g(x)=Rx$ 的雅可比矩阵 #

题目中 $R \in SO(2)$ 是行列式为1的2×2正交旋转矩阵，正确的形式应为：
$$R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$$
（注：原问题中第二行第一个元素存在笔误，修正后才能保证 $\det(R)=1$，符合 $SO(2)$ 的定义）

而 $g(x)=Rx$ 是一个线性变换，对于线性变换来说，它在任意点 $x$ 处的雅可比矩阵就是变换本身，即：
$$J_g(x) = R$$
这是因为线性变换的增量满足 $g(x+h)-g(x)=R(x+h)-Rx=Rh$，完全符合导数（雅可比矩阵）的定义：导数是线性映射，使得增量可以表示为该映射乘以 $h$，因此线性变换的雅可比矩阵就是它自身。

3. 代入链式法则推导目标等式 #

现在把 $g(x)=Rx$ 代入通用链式法则：

• 复合函数的内层函数输出是 $g(x)=Rx$，因此 $J_f(g(x))=J_f(Rx)$
• 内层函数的雅可比矩阵是 $J_g(x)=R$

将两者结合，就得到了题目中的等式：
$$J_{f \circ R}(x) = J_{f}(Rx) \circ R$$

额外验证：用具体例子验证 #

我们可以用一个简单的实值函数来验证这个结论，比如设 $f(x_1,x_2)=x_1^2 + x_2^2$（二阶连续可微，满足题目条件），$R$ 是旋转 $\alpha$ 的矩阵：

1. 计算左边：$f(Rx)=(\cos\alpha \cdot x_1 - \sin\alpha \cdot x_2)^2 + (\sin\alpha \cdot x_1 + \cos\alpha \cdot x_2)^2$，展开后化简为 $x_1^2 + x_2^2$，其雅可比矩阵（梯度向量）为 $\nabla(f(Rx))=[2x_1, 2x_2]$。
2. 计算右边：$J_f(Rx)$ 是 $f$ 在 $Rx$ 处的梯度，即 $\nabla f(Rx)=[2(\cos\alpha x_1 - \sin\alpha x_2), 2(\sin\alpha x_1 + \cos\alpha x_2)]$，将其与 $R$ 做矩阵乘法：
   $$[2(\cos\alpha x_1 - \sin\alpha x_2), 2(\sin\alpha x_1 + \cos\alpha x_2)] \cdot \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$$
   计算后结果为 $[2x_1, 2x_2]$，和左边完全一致，验证了等式成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者skorpion