关于两条对角线对称的n个无攻击车摆放方式数Tₙ计算问题

我们可以通过分析对称约束下车的位置规律，分奇偶情况推导Tₙ：

一、当n为偶数时（设n=2k） #

此时棋盘没有中心格子，整个棋盘可以被划分为k个独立的2×2方块：每个方块对应行i与行2k+1-i、列i与列2k+1-i（i从1到k）。

在每个2×2方块中，要满足双对角线对称且无攻击（每行每列仅一个车），只有两种合法放法：

• 放置在主对角线位置：(i,i)和(2k+1-i,2k+1-i)
• 放置在副对角线位置：(i,2k+1-i)和(2k+1-i,i)

每个方块的选择独立，因此总布局数为每个方块选择数的乘积：
$$T_n = 2^k = 2^{n/2}$$

验证n=2时：2×2棋盘有2种合法布局，符合$2^{1=2$；n=4时，有4种合法布局，符合$2}2=4$。

二、当n为奇数时（设n=2k+1） #

此时棋盘存在中心格子$(k+1,k+1)$，由于要满足每行每列仅一个车且双对称，中心格子必须放置车（否则中心行/列的车会因对称要求产生冲突）。

去掉中心行和中心列后，剩余的2k×2k棋盘就转化为偶数n=2k的情况，同样被划分为k个2×2方块，每个方块有2种选择，因此总布局数为：
$$T_n = 2^k = 2^{(n-1)/2}$$

验证n=1时：仅1种布局，符合$2^{0=1$；n=3时，有2种合法布局（中心车+主对角/副对角的配对车），符合$2}1=2$。

三、统一表达式 #

我们可以用向下取整符号把两种情况合并：
$$T_n = 2^{\lfloor n/2 \rfloor}$$
其中$\lfloor n/2 \rfloor$表示n除以2的整数部分。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者myriagon