资产价格模型中E(S_N/S₀)及E(S_N²/S₀²)的求解方法咨询

嗨，我来一步步帮你解决这个期望计算的问题，顺便理清能不能直接“忽略乘积单独取期望”的疑问～

一、计算$E\left(\frac{S_N}{S_0}\right)$ #

首先，我们已知$\frac{S_N}{S_0} = \prod_{n=1}^N \left(1 + udt + \sigma dt^a Y_n\right)$，这里关键的前提是：各个$Y_n$是独立同分布的随机变量（题目给出$P(Y_n=1)=P(Y_n=-1)=\frac{1}{2}$，默认独立）。

根据期望的核心性质：对于独立随机变量，乘积的期望等于期望的乘积，也就是$E\left[\prod_{n=1}^N X_n\right] = \prod_{n=1}^N E[X_n]$（当$X_n$相互独立时）。

那我们先计算单个项的期望：
$$
E\left[1 + udt + \sigma dt^a Y_n\right] = 1 + udt + \sigma dt^a \cdot E[Y_n]
$$
因为$E[Y_n] = 1 \times \frac{1}{2} + (-1) \times \frac{1}{2} = 0$，所以这个期望直接简化为$1 + udt$。

接下来把N个这样的期望相乘：
$$
E\left(\frac{S_N}{S_0}\right) = \prod_{n=1}^N (1 + udt) = (1 + udt)^N
$$
如果结合题目里的$T = Ndt$，可以把N替换成$\frac{T}{dt}$，得到更直观的形式：
$$
E\left(\frac{S_N}{S_0}\right) = (1 + udt)^{\frac{T}{dt}}
$$
当$dt \to 0$时，这个式子会收敛到$e^{uT}$，也就是连续时间下的指数期望结果。

二、计算$E\left(\left(\frac{S_N}{S_0}\right)^2\right)$ #

同样先处理平方后的表达式：
$$
\left(\frac{S_N}{S_0}\right)^2 = \left(\prod_{n=1}^N \left(1 + udt + \sigma dt^a Y_n\right)\right)^2 = \prod_{n=1}^N \left(1 + udt + \sigma dt^a Y_n\right)^2
$$
还是利用独立变量的期望乘积性质，拆成单个项平方的期望的乘积：
$$
E\left(\left(\frac{S_N}{S_0}\right)^2\right) = \prod_{n=1}^N E\left[\left(1 + udt + \sigma dt^a Y_n\right)^2\right]
$$

现在展开平方项并计算期望：
$$
\left(1 + udt + \sigma dt^a Y_n\right)^2 = (1 + udt)^2 + 2(1 + udt)\sigma dt^a Y_n + (\sigma dt^a)2 Y_n^2
$$
取期望时，$E[Y_n] = 0$，而$Y_n^{2$恒等于1（因为$Y_n$只能取±1），所以$E[Y_n}2] = 1$，代入后：
$$
E\left[\left(1 + udt + \sigma dt^a Y_n\right)^2\right] = (1 + udt)^2 + (\sigma dt^a)2
$$

最后把N个这样的结果相乘：
$$
E\left(\left(\frac{S_N}{S_0}\right)^2\right) = \left[(1 + udt)^2 + \sigma^2 dt^{2a}\right]N
$$
结合$T = Ndt$，也可以写成：
$$
E\left(\left(\frac{S_N}{S_0}\right)^2\right) = \left[(1 + udt)^2 + \sigma^2 dt^{2a}\right]{\frac{T}{dt}}
$$

三、关于“是否可忽略乘积直接对项单独取期望”的疑问 #

这里要明确：不能直接忽略乘积结构，把乘积的期望当成单个项期望的和——这是完全错误的，因为乘积和和是两种完全不同的运算，期望的线性性只适用于和的期望，不适用于乘积的期望。

但幸运的是，因为题目中的$Y_n$是独立的，我们可以利用“独立变量乘积的期望等于期望的乘积”这个性质，把乘积的期望拆解成单个项期望的乘积来计算，这是合理且正确的，但这和“忽略乘积直接取单个项期望再求和”完全不是一回事哦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathshelp101