证明复平面单连通子集的边界为正则边界的技术求助

首先明确题目给出的核心定义：

正则边界：对任意$z\in\partial U$，存在$z$的邻域圆盘$D$，以及定义在$D\cap \overline{U}$上的函数$\beta$，满足$\beta$在$D\cap U$上连续且次调和，$\beta(z)=0$，且在$D\cap U-{z}$中$\beta<0$。

我们通过分情况讨论+共形映射构造障碍函数的思路来完成证明：

1. 特殊情况：$U=\mathbb{C}$ #

此时$\partial U$是空集，空集天然满足正则边界的定义（ vacuous truth），结论直接成立。

2. 一般情况：$U\subsetneq\mathbb{C}$且单连通 #

根据Riemann映射定理，存在共形映射$g:\mathbb{D}\to U$（$\mathbb{D}$表示单位圆盘${w\in\mathbb{C}\mid |w|<1}$）。记$f=g^{-1}:U\to\mathbb{D}$为其逆映射，$f$同样是共形映射，在$U$上解析连续，且对所有$z\in U$有$|f(z)|<1$。

任取边界点$z_0\in\partial U$，我们构造符合要求的障碍函数$\beta$：

• 取$z_0$的邻域圆盘$D=D(z_0,r)$，其中$r>0$足够小，保证$D\cap U\neq\emptyset$。
• 在$D\cap U$上定义$\beta(z)=\log|f(z)|$：
  • 因为$f$是共形映射，$\log|f(z)|$是$U$上的调和函数（解析函数模的对数属于调和函数范畴），而调和函数必然是次调和函数，满足“连续且次调和”的要求。
  • 对任意$z\in D\cap U\setminus{z_0}$，$|f(z)|<1$，因此$\log|f(z)|<0$，符合“非边界点处函数值为负”的条件。
  • 验证连续性：当$z\in D\cap U$且$z\to z_0$时，$f(z)$必然趋近于$\partial\mathbb{D}$上的某点（否则若存在收敛子列$f(z_n)\to w\in\mathbb{D}$，则$g(w)=z_0\in\partial U$，与$g(\mathbb{D})=U$矛盾），因此$|f(z)|\to1$，即$\beta(z)\to\log1=0$。我们定义$\beta(z_0)=0$，这样$\beta$就在$D\cap\overline{U}$上连续。

综上，这个$\beta$完全满足正则边界定义中的所有条件。由于$z_0$是$\partial U$上的任意点，因此$\partial U$是正则边界。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sysMirror