如何证明∫₀^∞ erf(x)erfc(x)dx=(√2-1)/√π？求简便证法

嘿，这个积分其实有个挺巧妙的简便证法，不用死磕分部积分～先从误差函数和互补误差函数的定义入手，一步步拆解：

首先明确两个函数的定义：

• 误差函数：erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt
• 互补误差函数：erfc(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^\infty e^{-s^2} ds

把它们代入原积分，得到：

I = \int_0^\infty \text{erf}(x)\text{erfc}(x)dx = \frac{4}{\pi} \int_0^\infty \left( \int_0^x e^{-t^2} dt \right) \left( \int_x^\infty e^{-s^2} ds \right) dx

第一步：交换积分顺序 #

原来的积分区域是：0 ≤ t ≤ x ≤ s < ∞，我们可以把积分顺序改成先对x积分，再对t和s积分——这一步是关键！转换后积分区域变为t ≥ 0且s ≥ t，因此积分可以改写为：

I = \frac{4}{\pi} \int_{t=0}^\infty \int_{s=t}^\infty \left( \int_{x=t}^s dx \right) e^{-t^2}e^{-s^2} ds dt

先计算最内层的x积分：∫_{t}^s dx = s - t，代入后积分简化为：

I = \frac{4}{\pi} \int_{t=0}^\infty \int_{s=t}^\infty (s - t) e^{-(t^2 + s^2)} ds dt

第二步：极坐标转换 #

因为被积函数里有t²+s²，用极坐标转换会非常方便：令t = r\cosθ，s = r\sinθ，结合s ≥ t ≥ 0的区域，θ的范围是π/4 ≤ θ ≤ π/2，r从0到∞，雅可比行列式为r。代入后：

• t² + s² = r²
• s - t = r(\sinθ - \cosθ)

积分变为：

I = \frac{4}{\pi} \int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2} (\sinθ - \cosθ) dθ \int_{r=0}^\infty r^2 e^{-r^2} dr

第三步：计算两个单积分 #

现在分开计算这两个独立的积分：

1. θ的积分：

\int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sinθ - \cosθ) dθ = \left[ -\cosθ - \sinθ \right]_{\pi/4}^{\pi/2} = (-0 -1) - \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2} - 1

2. r的积分：用分部积分法计算∫_0^∞ r²e^{-r²}dr，令u=r，dv=re^{-r²}dr，可得：

\int_0^∞ r²e^{-r²}dr = \left. -\frac{r}{2}e^{-r²} \right|_0^∞ + \frac{1}{2}\int_0^∞ e^{-r²}dr = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{4}

第四步：合并结果 #

把两个积分的结果代入，得到：

I = \frac{4}{\pi} \cdot (\sqrt{2} - 1) \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{\pi}}

正好和题目给出的结果一致！

关于分部积分没成功的小提示 #

如果你之前尝试分部积分没出结果，大概率是u和dv的选择不对。比如选u=\text{erf}(x)，dv=\text{erfc}(x)dx的话，需要先算出∫\text{erfc}(x)dx = x\text{erfc}(x) + \frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x²} + C，后续还要处理嵌套的积分，步骤会比二重积分繁琐很多，容易算错。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者zeraoulia rafik