使用Yoneda引理的范畴论证明是否适用于非局部小范畴？

哈哈，这个问题问到点子上了——我平时啃范畴论文献的时候也经常纠结Yoneda引理的适用边界，尤其是碰到那些hom集不是集合的“大范畴”时，总忍不住要回头确认前提。

1. 经典Yoneda引理的默认前提：局部小范畴 #

咱们课本里学的经典Yoneda引理，确实默认了范畴是局部小的——也就是对任意两个对象$A,B$，hom集Hom(A,B)是一个集合，而非真类（proper class）。为啥非得这个前提？

核心原因在于Yoneda引理的结论：它建立了Nat(C(A,-), F)（从可表函子$C(A,-)$到函子$F$的自然变换集合）和$F(A)$之间的双射。如果范畴不是局部小，C(A,B)是真类，那自然变换的“分量”就没法被收集成一个集合——毕竟每个自然变换$\eta$对应着对每个$B$选一个元素$\eta_B \in \text{Hom}(C(A,B), F(B))$，要是C(A,B)是真类，这整个自然变换的集合就变成了真类，而“双射”是集合论里的概念，真类之间没法谈严格的双射，这就直接让经典Yoneda引理的陈述失去了基础。

就拿你提到的“右伴随保持极限”的标准证明来说，很多证明会依赖Yoneda引理把范畴层面的极限转化为hom集层面的极限，再利用右伴随和hom函子的交换性推导。要是范畴非局部小，hom集是真类，“hom集的极限”这个说法就站不住脚——集合论里的极限构造（比如乘积、拉回）都是针对集合的，真类没法直接做这些操作，整个证明的逻辑链就断了。

2. 非局部小范畴里的Yoneda引理：推广方案 #

当然有办法让Yoneda引理在一般范畴里生效，主要有这么几种思路：

• 升级集合论框架：把原来的ZFC集合论换成能处理真类的系统（比如NBG或MK集合论），这时候Yoneda引理的陈述几乎可以原封不动照搬——只是把“集合”换成“类”。自然变换的集合变成自然变换的类，双射也变成类之间的一一对应。这种方式相当于把我们的“讨论范围”扩大，让真类也能被当作合法的“对象”来处理。

• 弱化版Yoneda引理：如果不想换集合论，也可以把结论弱化。比如，对任意对象$A$和函子$F:C\to\mathbf{Set}$（哪怕$C$非局部小，$F$的值域还是集合），我们可以说存在一个自然的类对应：每个自然变换$\eta:C(A,-)\to F$对应到$\eta_A(\text{id}_A)\in F(A)$，并且这个对应是“可逆”的——每个$x\in F(A)$都能唯一找到对应的自然变换。虽然没法说这是“双射”（因为两边可能是真类），但这种一一对应的关系在类的层面上是成立的，足够支撑很多证明的核心逻辑。

• 富集范畴视角的推广：经典Yoneda引理其实是富集在集合范畴$\mathbf{Set}$里的特殊情况。如果把范畴富集在更一般的对称幺半范畴$\mathcal{V}$中，Yoneda引理可以直接推广到富集范畴上——这时候hom对象不再是集合，而是$\mathcal{V}$里的对象，自然变换也变成了富集意义下的自然变换。对于非局部小范畴，我们可以把它看作是富集在类范畴里的范畴，这就和第一种推广方式打通了。

3. 回到“右伴随保持极限”的证明 #

要是范畴是非局部小的，就没法证明右伴随保持极限了吗？当然不是——可以用推广后的Yoneda引理，或者换一种不依赖hom集是集合的证明路径：

• 直接用极限的泛性质：假设$G$是$F$的右伴随，$L$是$C$中的极限锥，要证明$G(L)$是$D$中的极限锥，只需要验证对任意$D$中的对象$D$，Hom_D(D, G(L))和$\lim\limits_{\leftarrow}\text{Hom}_D(D, G(L_i))$之间存在类层面的一一对应，并且满足极限的泛性质。
• 用富集范畴的极限定义：把极限看作富集意义下的表示对象，再结合富集Yoneda引理和伴随函子的性质来推导，这样就绕开了“hom集必须是集合”的限制。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jehu314