如何将盒体对角点从原坐标系系统转换至新坐标系？

嘿，这个问题属于经典的坐标系基变换场景，咱们可以用线性代数的思路来解决，步骤清晰还容易落地，甚至能利用正交基的特性大幅简化计算。

核心原理 #

坐标转换的本质是基向量的映射：原坐标系下的每个点，都是原基向量的线性组合；要转到新坐标系，就是要找到这个点在新基向量下的线性组合系数。

具体步骤 #

1. 确认新坐标系的基向量性质 #

先看你提供的新轴向量：它们是正交归一基（互相垂直，且每个向量的模长为1）——这点很关键，能帮我们省去求逆矩阵的麻烦。如果你的实际场景中新基不是正交归一的，后面我也会补充处理方法。

2. 构造转换矩阵 #

假设：

• 原坐标系（W）的基向量：$X_w=(1,0,0), Y_w=(0,1,0), Z_w=(0,0,1)$
• 新坐标系（T）的基向量（在W下的表示）：$X_t=(x_{tx},x_{ty},x_{tz}), Y_t=(y_{tx},y_{ty},y_{tz}), Z_t=(z_{tx},z_{ty},z_{tz})$

我们把新基向量作为列向量组成矩阵$M$：

M = [
     [x_{tx}, y_{tx}, z_{tx}],
     [x_{ty}, y_{ty}, z_{ty}],
     [x_{tz}, y_{tz}, z_{tz}]
    ]

因为新基是正交归一的，$M$是正交矩阵，它的逆矩阵等于自身的转置矩阵$M^T$：

M^T = [
       [x_{tx}, x_{ty}, x_{tz}],
       [y_{tx}, y_{ty}, y_{tz}],
       [z_{tx}, z_{ty}, z_{tz}]
      ]

3. 转换盒体的对角点 #

盒体的所有顶点都可以由两个对角点$P1$、$P2$生成（每个坐标分量取$P1$或$P2$对应的值），所以我们只需要转换这两个点：
对于任意原坐标系下的点$P=(p_x,p_y,p_z)$，它在新坐标系下的坐标$P_t=(p_{tx},p_{ty},p_{tz})$满足：
$$P_t = M^T \cdot P$$
用矩阵乘法展开就是：
$$
\begin{cases}
p_{tx} = x_{tx} \cdot p_x + x_{ty} \cdot p_y + x_{tz} \cdot p_z \
p_{ty} = y_{tx} \cdot p_x + y_{ty} \cdot p_y + y_{tz} \cdot p_z \
p_{tz} = z_{tx} \cdot p_x + z_{ty} \cdot p_y + z_{tz} \cdot p_z
\end{cases}
$$

4. 生成新坐标系下的盒体 #

转换完$P1$和$P2$得到$P1_t$、$P2_t$后，新盒体的8个顶点就是每个坐标分量取$P1_t$或$P2_t$对应的值，直接组合即可。

示例计算（用你给的数值） #

拿$P1=(-3,3,1)$，新基$X_t=(0.9616,-0.0006,-0.2745)$、$Y_t=(-0.0008,-1,-0.0003)$、$Z_t=(-0.2745,0.0005,-0.9616)$来算：

• $p_{tx} = 0.9616*(-3) + (-0.0006)*3 + (-0.2745)*1 = -3.1611$
• $p_{ty} = (-0.0008)*(-3) + (-1)*3 + (-0.0003)*1 = -2.9979$
• $p_{tz} = (-0.2745)(-3) + 0.00053 + (-0.9616)*1 = -0.1366$
  所以$P1$在新坐标系下的坐标是$(-3.1611, -2.9979, -0.1366)$，同理可以算出$P2$的转换结果。

非正交基的情况 #

如果你的实际场景中新坐标系的轴向量不是正交归一的，那需要计算$M$的逆矩阵$M^{-1}$，然后用$P_t = M^{-1} \cdot P$来转换。这时候可以用线性代数工具（比如Python的numpy.linalg.inv()）来计算逆矩阵，步骤和上面一致，只是把转置矩阵换成逆矩阵就行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eric F