ℝ上Lipschitz连续性的等价定义问询：给定条件是否等价？

首先先明确两个关键定义：

Lipschitz连续性定义：函数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$是Lipschitz连续的，当且仅当存在实数常数$C>0$，使得对所有$x,y\in\mathbb{R}$，有
$$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq C\left|x-y\right|\tag{1}$$

题目中的条件：对任意$\epsilon>0$，存在$C=C\left(\epsilon\right)>0$，使得对所有满足$\left|x-y\right|>\epsilon$的$x,y\in\mathbb{R}$，有
$$\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq C\left(\epsilon\right)\left|x-y\right|\tag{2}$$

核心结论：这两个条件不等价，题目中的条件更弱 #

我们可以构造一个满足条件(2)但不满足Lipschitz连续性的函数来直观证明：

反例：$f(x)=\sqrt{|x|}$ #

步骤1：验证$f(x)$满足条件(2) #

对任意给定的$\epsilon>0$，我们取$C(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{\epsilon/2}}$。现在看任意满足$|x-y|>\epsilon$的实数$x,y$：
$$|f(x)-f(y)| = \left|\sqrt{|x|} - \sqrt{|y|}\right| = \frac{||x| - |y||}{\sqrt{|x|} + \sqrt{|y|}} \leq \frac{|x-y|}{\sqrt{|x|} + \sqrt{|y|}}$$
因为$|x-y|>\epsilon$，所以至少有一个点的绝对值不小于$\epsilon/2$（否则$|x-y|\leq|x|+|y|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$，矛盾）。不管是$|x|\geq\epsilon/2$还是$|y|\geq\epsilon/2$，$\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}$都会大于等于$\sqrt{\epsilon/2}$，因此：
$$|f(x)-f(y)| \leq \frac{|x-y|}{\sqrt{\epsilon/2}} = C(\epsilon)|x-y|$$
完全符合条件(2)的要求。

步骤2：验证$f(x)$不是Lipschitz连续的 #

假设存在全局常数$C>0$满足Lipschitz条件，那我们取$y=0$，$x=t>0$，代入得：
$$\sqrt{t} \leq C \cdot t$$
整理一下就是$C \geq \frac{1}{\sqrt{t}}$。但当$t$趋近于0+时，$\frac{1}{\sqrt{t}}$会趋向正无穷，根本不存在这样的固定常数$C$。这就说明$f(x)=\sqrt{|x|}$不满足Lipschitz连续性。

差异原因解析 #

Lipschitz连续性要求全局统一的常数$C$，不管$x,y$离得近还是远，函数的变化速率都被这个$C$限制住；而题目中的条件只限制了远距离点对之间的变化速率，允许函数在近距离（比如靠近0的地方）的变化速率无界，所以它是更弱的条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user168330