随机变量独立性疑问：是否存在实函数使f(X,Y)与g(A,B)独立？

这是个很有意思的问题！答案是肯定的——我们甚至能构造出非常直观的例子来验证这一点。

平凡但有效的构造：常数函数 #

最简单的情况就是取常数函数。比如令 f(X,Y) = 5（或者任意固定实数），g(A,B) = π（同样任意固定实数）。根据随机变量独立性的定义，常数随机变量和任何随机变量都是相互独立的——毕竟常数的取值是确定的，不会和其他变量的取值产生任何关联。这个构造完全满足题目的要求，不管X与Y、A与B之间是否存在依赖关系。

非平凡的构造（当需要非常数函数时） #

如果你想要非常数的函数，我们也能找到合适的例子：

• 考虑取 f(X,Y) = X，然后取 g(A,B) = A²。因为X和A独立，根据独立性的基本性质：独立随机变量的可测函数仍然独立，所以X和A²必然相互独立，自然满足f(X,Y)与g(A,B)独立的要求。
• 反过来，也可以取 g(A,B) = B，f(X,Y) = Y³。由于Y和B独立，它们的函数变换同样会保持独立性。

当然，还有更多其他的构造方式，核心思路就是利用“独立变量的函数仍独立”这一性质，或者直接借助常数变量的特殊性。

总之，不管X与Y、A与B之间的依赖关系如何，我们总能找到满足条件的实函数f和g。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者elbarto