豪斯多夫空间稠密集上同胚的连续映射像集包含性证明问询

我来帮你把这个拓扑学证明整理成清晰的Markdown格式，同时补全剩余的证明步骤：

前置已知条件 #

• $X$是豪斯多夫空间
• $D \subset X$是$X$中的稠密集
• $f: X \rightarrow Y$是连续函数
• 限制映射 $f|_D: D \rightarrow f(D)$ 是同胚

已完成的证明片段整理 #

1. 证明$f(D)$在$f(X)$中稠密 #

设$V \subset f(X)$是任意开集，由$f$的连续性，原像$f^{-1}(V)$是$X$中的开集。
由于$D$在$X$中稠密，$D$与$X$内所有非空开集相交，因此存在$d \in D \cap f^{-1}(V)$。
对该元素施加$f$映射，可得$f(d) \in f(D) \cap V$，这说明$f(D)$与$f(X)$内任意开集$V$都相交，因此$f(D)$在$f(X)$中稠密。

2. 证明$f(D)$是豪斯多夫子空间 #

因为$X$是豪斯多夫空间，其任意子空间都继承豪斯多夫性质，所以$D$作为$X$的子空间是豪斯多夫的。
又因为$f|_D$是同胚映射，而同胚会严格保持拓扑性质，因此$f(D)$作为$Y$的子空间也必然是豪斯多夫空间。

补全最终结论的证明（反证法） #

假设存在$x \in X \setminus D$，使得$f(x) \in f(D)$，即存在某个$d \in D$满足$f(x) = f(d)$。

由于$X$是豪斯多夫空间，且$x \neq d$，我们可以找到$X$中两个不相交的开集$U_x$和$U_d$，分别包含$x$和$d$。

接下来分析集合$U_x \cap f^{-1}(Y \setminus f(D \setminus U_d))$：

• 首先，$f|_D$是同胚，因此它是单射，且$D \setminus U_d$是$D$中的闭集，所以$f(D \setminus U_d)$是$f(D)$中的闭集，进而$Y \setminus f(D \setminus U_d)$是$Y$中的开集。
• 由$f$的连续性，$f^{-1}(Y \setminus f(D \setminus U_d))$是$X$中的开集，且显然包含$d$（因为$f(d) \notin f(D \setminus U_d)$）。

因为$D$在$X$中稠密，所以$D \cap U_x \cap f^{-1}(Y \setminus f(D \setminus U_d))$是非空的，取其中一点$d'$，则$f(d') \in f(D) \cap (Y \setminus f(D \setminus U_d))$，即$f(d') \notin f(D \setminus U_d)$。结合$f|_D$是单射，可得$d' \in U_d$。但$d'$同时属于$U_x$，而$U_x$与$U_d$是不相交的，这就产生了矛盾。

因此原假设不成立，即对所有$x \in X \setminus D$，都有$f(x) \notin f(D)$，也就是$f(X \setminus D) \subset Y \setminus f(D)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mbrg