求证[0,1]上标准欧氏度量d与d'的等价性及拓扑一致性

首先明确一下定义：$d(x,y)=|x-y|$是$[0,1]$上的标准欧氏度量，$d'(x,y)=|\sqrt{x}-\sqrt{y}|$是你定义的新度量。我们分两步来证明你的结论：

一、度量$d$与$d'$不等价 #

度量等价的核心要求是：存在两个正实数$C_1,C_2$，使得对所有$x,y\in[0,1]$，都满足$C_1 d(x,y)\leq d'(x,y)\leq C_2 d(x,y)$。我们只需要找到反例，说明这样的$C_2$不存在即可：

取$y=0$，$x=t^{2$（其中$t>0$且$t\to0}+$），此时：

• $d(x,y)=|t^2 - 0|=t^2$
• $d'(x,y)=|\sqrt{t^2}-\sqrt{0}|=t$

计算比值$\frac{d'(x,y)}{d(x,y)}=\frac{t}{t^2}=\frac{1}{t}$，当$t$趋近于0时，这个比值会趋向于$+\infty$。这意味着不存在一个固定的正实数$C_2$，能让$d'(x,y)\leq C_2 d(x,y)$对所有$x,y\in[0,1]$成立，因此$d$和$d'$不是等价度量。

二、$d$与$d'$诱导的拓扑相同 #

要证明两个度量诱导的拓扑一致，只需要证明恒等映射$id:([0,1],d)\to([0,1],d')$是同胚——也就是这个映射本身连续，且它的逆映射（同样是恒等映射，只是定义域和值域的拓扑反过来）也连续。

1. 证明$id$从$d$-拓扑到$d'$-拓扑连续 #

任取$x_0\in[0,1]$，对任意给定的$\epsilon>0$，我们需要找到$\delta>0$，使得当$d(x,x_0)=|x-x_0|<\delta$时，$d'(x,x_0)=|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\epsilon$：

• 如果$x_0>0$：利用$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|=\frac{|x-x_0|}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}$，因为$\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\geq\sqrt{x_0}$，所以取$\delta=\epsilon\cdot\sqrt{x_0}$，此时$|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|\leq\frac{|x-x_0|}{\sqrt{x_0}}<\frac{\delta}{\sqrt{x_0}}=\epsilon$，满足条件。
• 如果$x_0=0$：此时$d'(x,0)=\sqrt{x}$，要让$\sqrt{x}<\epsilon$，只需要$x<\epsilon^{2$，所以取$\delta=\epsilon}2$即可。

因此$id$是连续映射。

2. 证明$id$从$d'$-拓扑到$d$-拓扑连续 #

同样任取$x_0\in[0,1]$，对任意$\epsilon>0$，找$\delta>0$，使得当$d'(x,x_0)=|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|<\delta$时，$d(x,x_0)=|x-x_0|<\epsilon$：
利用$|x-x_0|=|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})$，因为$x,x_0\in[0,1]$，所以$\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\leq1+1=2$，因此$|x-x_0|\leq\delta\cdot2$。我们只需要取$\delta=\frac{\epsilon}{2}$，此时$|x-x_0|\leq\frac{\epsilon}{2}\cdot2=\epsilon$，满足条件。

逆映射也连续，说明两个拓扑下的开集完全一致——每个$d$-开集都是$d'$-开集，反之亦然。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Faust