求解三元一次联立方程组：请求分步推导x、y、z的解法

首先，咱们先把原方程组整理成标准线性方程组形式（把含未知数的项移到左侧，常数项移到右侧），并给每个方程编号方便后续引用：
$$ \begin{cases}
-14x + 8y + 5z = -10 \quad (1) \
-x - 2y - 6z = -10 \quad (2) \
-9x + 12y - 2z = -10 \quad (3)
\end{cases} $$

第一步：消去未知数x，得到二元一次方程组 #

观察方程(2)，x的系数是-1，是最容易处理的，咱们用它来消去另外两个方程里的x：

1. 处理方程(1)和(2)：

   • 将方程(2)两边同时乘以14，得到方程(4)：
     $$ -14x - 28y - 84z = -140 \quad (4) $$
   • 用方程(1)减去方程(4)（这样能直接消去x项）：
     $$ (-14x + 8y + 5z) - (-14x - 28y - 84z) = -10 - (-140) $$
     展开计算：
     $$ -14x +8y +5z +14x +28y +84z = 130 $$
     合并同类项后得到方程(5)：
     $$ 36y + 89z = 130 \quad (5) $$

2. 处理方程(3)和(2)：

   • 将方程(2)两边同时乘以9，得到方程(6)：
     $$ -9x - 18y - 54z = -90 \quad (6) $$
   • 用方程(3)减去方程(6)（同样消去x项）：
     $$ (-9x +12y -2z) - (-9x -18y -54z) = -10 - (-90) $$
     展开计算：
     $$ -9x +12y -2z +9x +18y +54z = 80 $$
     合并同类项后得到方程(7)：
     $$ 30y + 52z = 80 \quad (7) $$

现在咱们得到了只含y和z的二元一次方程组：
$$ \begin{cases}
36y + 89z = 130 \quad (5) \
30y + 52z = 80 \quad (7)
\end{cases} $$

第二步：求解二元一次方程组，得到y和z的值 #

为了消去y，先找到36和30的最小公倍数180，对两个方程进行缩放：

1. 将方程(5)两边乘以5，得到方程(8)：
   $$ 180y + 445z = 650 \quad (8) $$
2. 将方程(7)两边乘以6，得到方程(9)：
   $$ 180y + 312z = 480 \quad (9) $$
3. 用方程(8)减去方程(9)，消去y：
   $$ (180y +445z) - (180y +312z) = 650 - 480 $$
   计算得：
   $$ 133z = 170 $$
   解得：
   $$ z = \frac{170}{133} \approx 1.278 $$

接下来把z的值代入方程(7)，求解y：
$$ 30y + 52\times\frac{170}{133} = 80 $$
先计算常数项：
$$ 52\times\frac{170}{133} = \frac{8840}{133} $$
移项得：
$$ 30y = 80 - \frac{8840}{133} $$
把80转化为分母133的分数：
$$ 80 = \frac{10640}{133} $$
所以：
$$ 30y = \frac{10640 - 8840}{133} = \frac{1800}{133} $$
解得：
$$ y = \frac{1800}{133\times30} = \frac{60}{133} \approx 0.451 $$

第三步：将y和z的值代入原方程，求解x #

咱们选方程(2)（因为x的系数是-1，计算最省事）：
$$ -x -2y -6z = -10 $$
移项得：
$$ x = 10 -2y -6z $$
代入y和z的分数值：
$$ x = 10 - 2\times\frac{60}{133} -6\times\frac{170}{133} $$
计算各项：
$$ 2\times\frac{60}{133} = \frac{120}{133}, \quad 6\times\frac{170}{133} = \frac{1020}{133} $$
所以：
$$ x = 10 - \frac{120 + 1020}{133} = 10 - \frac{1140}{133} $$
把10转化为分母133的分数：
$$ 10 = \frac{1330}{133} $$
因此：
$$ x = \frac{1330 - 1140}{133} = \frac{190}{133} \approx 1.429 $$

验证解的正确性 #

为了确保解没问题，咱们把x、y、z的值代入原方程组的方程(1)试试：
$$ 10 -14x +8y +5z = 10 -14\times\frac{190}{133} +8\times\frac{60}{133} +5\times\frac{170}{133} $$
计算各项：
$$ 14\times\frac{190}{133} = \frac{2660}{133}, \quad 8\times\frac{60}{133} = \frac{480}{133}, \quad5\times\frac{170}{133} = \frac{850}{133} $$
代入得：
$$ 10 - \frac{2660}{133} + \frac{480}{133} + \frac{850}{133} = 10 - \frac{2660 - 480 -850}{133} = 10 - \frac{1330}{133} = 10 -10 =0 $$
完全符合方程(1)的等式，说明咱们的解是正确的。

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