服从Exp(1)的X、Y，求P(X+Y>2)的概率计算咨询

嘿，你的拆分思路完全没问题！咱们接着把第二种情况的计算补全，很快就能得到准确结果啦～

首先明确核心前提：X和Y是独立的指数分布Exp(1)，所以它们的联合概率密度函数为：
f(x,y) = e^{-(x+y)}，其中x>0，y>0

你的两种情况拆分逻辑很准确，咱们逐个处理：

• 情况1：X寿命直接超过2年，此时不管Y的寿命长短，X+Y必然≥2。这个概率你已经算对了：
  P(X≥2) = e^{-2} ≈ 0.1353
• 情况2：X在0~2年内失效（即0<X<2），此时需要Y的寿命至少补上X未活到的部分，也就是Y≥2-X。咱们来计算这个联合概率：

情况2的积分计算步骤 #

1. 先固定X的取值为x（0<x<2），计算Y≥2-x的概率：
   P(Y≥2-x) = ∫_{2-x}^∞ e^{-y} dy = e^{-(2-x)} = e^{x-2}
2. 结合X的概率密度e^{-x}，对X在0~2区间上积分，得到情况2的总概率：
   ∫_{0}^{2} e^{-x} * e^{x-2} dx
   这里可以化简被积函数：e^{-x} * e^{x-2} = e^{-2}，所以积分就简化为：
   ∫_{0}^{2} e^{-2} dx = e^{-2} * (2-0) = 2e^{-2} ≈ 0.2707

总概率计算 #

把两种情况的概率相加，就是我们要的结果：
P(X+Y≥2) = e^{-2} + 2e^{-2} = 3e^{-2} ≈ 0.4059

补集验证法（可选） #

为了确保结果正确，咱们可以用补集思路再算一遍：先求X+Y<2的概率，再用1减去它：
P(X+Y<2) = ∫_{0}^{2} ∫_{0}^{2-x} e^{-(x+y)} dy dx

1. 先对y积分：∫_{0}^{2-x} e^{-y} dy = 1 - e^{-(2-x)}
2. 再对x积分：∫_{0}^{2} e^{-x}(1 - e^{-(2-x)}) dx = ∫_{0}^{2} e^{-x} - e^{-2} dx
3. 计算结果：[-e^{-x}]_{0}^{2} - 2e^{-2} = (1 - e^{-2}) - 2e^{-2} = 1 - 3e^{-2}
4. 因此总概率：P(X+Y≥2) = 1 - (1-3e^{-2}) = 3e^{-2}，和之前的结果完全一致，说明计算正确！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Grak