求证：交换群G中集合Aₙ={aⁿ|a∈G}（n>1∈ℤ）是G的子群

嗨，刚学群论遇到这种问题太正常了！其实不用归纳法也能直接搞定，而且逻辑更直观～我们就围绕子群的核心判定条件一步步来：

首先回忆子群的判定规则：对于群G的非空子集H，只要满足封闭性和逆元存在，H就是G的子群（非空是前提，不能忘）。我们就按这个框架来证：

1. 先确认Aₙ是非空子集 #

群G的单位元e肯定属于G，而单位元的任意次幂都是它自己：eⁿ = e，所以e ∈ Aₙ，这就说明Aₙ不是空集，满足子群的基本要求。

2. 验证封闭性：任意x,y∈Aₙ，都有xy∈Aₙ #

因为x和y在Aₙ里，所以必然存在G中的元素a、b，使得：
x = aⁿ，y = bⁿ
现在计算xy：
xy = aⁿbⁿ
这里关键用到G是交换群的性质——元素乘法可交换（ab = ba），所以我们可以把幂运算合并：
aⁿbⁿ = (ab)ⁿ
（展开来理解：(ab)ⁿ = abab…ab（共n次乘法），交换顺序后就变成aaa…a · bbb…b，也就是aⁿbⁿ）
而ab是G中的元素（群对乘法封闭），所以(ab)ⁿ ∈ Aₙ，也就是xy ∈ Aₙ，封闭性得证。

3. 验证逆元：任意x∈Aₙ，都有x⁻¹∈Aₙ #

同样，x∈Aₙ意味着存在a∈G，使得x = aⁿ
我们知道群中每个元素都有逆元，a的逆元a⁻¹也在G里。现在看x的逆元：
x⁻¹ = (aⁿ)⁻¹
根据群的幂运算性质，(aⁿ)⁻¹ = (a⁻¹)ⁿ（因为aⁿ · (a⁻¹)ⁿ = (aa⁻¹)ⁿ = eⁿ = e，完全符合逆元的定义）
而(a⁻¹)ⁿ是G中元素a⁻¹的n次幂，所以它属于Aₙ，也就是x⁻¹ ∈ Aₙ，逆元条件满足。

关于你考虑的归纳法 #

其实n=2的基础情况就是上述证明的特例（把n换成2就行），但一般情况直接用交换群的性质就能覆盖所有n>1的整数，归纳法反而有点画蛇添足——除非你想额外验证低次幂的情况，但核心逻辑是完全一致的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wzbillings