求助：基于Lagrangian的路径y(x)极值关系推导指引

嘿，我来帮你梳理下这个推导的核心思路，你遇到的问题大概率是自变量混淆或者没利用拉格朗日量的特殊性质～

从你提到的n(y)*dx/ds形式来看，这应该是费马原理的典型场景：光在折射率仅依赖y的介质中传播，我们要最小化的作用量就是光的传播时间（常数c不影响最小化，可忽略）。下面一步步来：

1. 先把作用量转化为单自变量积分形式 #

首先，弧长元ds = √(dx² + dy²) = dx * √(1 + (dy/dx)²)，所以作用量可以写成关于x的积分：

S = ∫ n(y) * √(1 + y'²) dx ，其中 y' = dy/dx

这里的拉格朗日量L = n(y)√(1 + y'²)，它有个关键特性：不显含自变量x，这能帮我们简化推导。

2. 利用不显含自变量的欧拉-拉格朗日简化公式 #

当拉格朗日量L不显含自变量x时，欧拉-拉格朗日方程有一个现成的第一积分（守恒量）：

L - y' * ∂L/∂y' = 常数

我们来计算这个式子：

• 先求偏导数：∂L/∂y' = n(y) * (1/(2√(1+y'²))) * 2y' = n(y) y' / √(1+y'²)
• 代入守恒量公式，通分后化简左边：

n(y)√(1+y'²) - y' * (n(y) y' / √(1+y'²)) = [n(y)(1+y'²) - n(y)y'²]/√(1+y'²) = n(y)/√(1+y'²)

所以得到守恒关系：

n(y)/√(1+y'²) = 常数

3. 转化为你提到的n(y)*dx/ds形式 #

注意到√(1+y'²) = ds/dx（因为ds = dx√(1+y'²)，两边除以dx就得到这个关系），那么1/√(1+y'²) = dx/ds。把这个代入上面的守恒式，直接得到：

n(y) * (dx/ds) = 常数

这就是你要的形式啦！

4. 用常规欧拉-拉格朗日方程验证（补充） #

如果你想用最初的欧拉-拉格朗日方程d/dx(∂L/∂y') = ∂L/∂y来推导，也是可行的：

• 左边求导（用乘积法则展开）：

d/dx [n(y) y' / √(1+y'²)] = n'(y) y'² / √(1+y'²) + n(y) y'' / (1+y'²)^(3/2)

• 右边偏导数：∂L/∂y = n'(y)√(1+y'²)
• 两边乘以(1+y'²)^(3/2)消去分母，化简后会得到路径满足的微分方程：

y'' = [n'(y)/n(y)] (1 + y'²)

这个方程和之前的守恒量是完全等价的——你对守恒式两边求导，就能得到这个微分方程。

你之前没得到有效结果的可能原因 #

最可能的是自变量搞错了：你写的d/dt是对时间求导，但这里我们的路径是y(x)，自变量是空间坐标x，应该用d/dx求导；另外如果你的作用量一开始不是以x为自变量的积分形式，得先做变量替换，把它转化为单自变量的积分后再应用欧拉-拉格朗日方程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者dan815