求证：a<b为实数时，集合T=ℚ∩[a,b]的上确界为b（含证明校验）

嘿，你的证明思路完全没问题，但中间有个明显的逻辑矛盾笔误——你写的“(r \in [a,b]) 且 (r < \alpha)”应该是“(r \in [a,b]) 且 (r > \alpha)”，这才是反证法的核心矛盾点。下面是修正后的完整严谨证明：

完整证明步骤 #

已知实数 (a < b)，集合 T = ℚ ∩ [a,b]，需证 (\sup T = b)，分两部分完成：

1. 先证 (b) 是 (T) 的上界 #

对于任意 (x \in T)，根据集合定义，(x) 同时属于有理数集 (ℚ) 和闭区间 ([a,b])，因此必然满足 (x \leq b)。完全符合上界的定义，所以 (b) 是 (T) 的一个上界。

2. 再证 (b) 是 (T) 的最小上界（即上确界） #

采用反证法：假设存在实数 (\alpha < b)，使得 (\alpha = \sup T)。
根据有理数在实数中稠密的基本性质：对任意两个实数 (p < q)，一定存在有理数 (r) 满足 (p < r < q)。
这里取 (p = \alpha)，(q = b)，因为假设了 (\alpha < b)，所以必然存在有理数 (r) 使得 (\alpha < r < b)。
同时，因为 (\alpha) 是 (T) 的上界，所以 (\alpha \geq a)（如果 (\alpha < a)，那 (T) 中存在大于 (a) 的有理数，会直接推翻 (\alpha) 是上界的假设），因此 (r > \alpha \geq a)，即 (r \in [a,b])。结合 (r) 是有理数，可得 (r \in T)。
这就出现了矛盾：(\alpha) 是 (T) 的上界，却存在 (r \in T) 使得 (r > \alpha)，完全违背了上界的定义。
因此假设不成立，不存在比 (b) 更小的上界，所以 (\sup T = b)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bunny