级数敛散性咨询：∑(n=1到∞)n⁴/(n⁵+7)的敛散性判断

你这里的思路方向是对的，但用比较判别法的时候踩了个小坑——咱们得先明确比较判别法的适用逻辑：

• 若$0 \leq a_n \leq b_n$，且$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$收敛；
• 若$0 \leq b_n \leq a_n$，且$\sum b_n$发散，则$\sum a_n$发散。

你现在得到的是$a_n \leq b_n$且$\sum b_n$发散，这时候没法直接推出$\sum a_n$的敛散性，得换个方式来用比较判别法，或者用极限形式的比较判别法，两种方法都能解决这个问题：

方法1：极限形式的比较判别法 #

取$b_n = \frac{1}{n}$，计算两项的比值极限：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^4}{n5+7}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^5}{n5+7} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{7}{n^5}} = 1
$$
这个极限是正的有限值，根据极限比较判别法的规则，$\sum a_n$和$\sum b_n$的敛散性一致。而$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$是经典的调和级数，是发散的，所以原级数也发散。

方法2：找下界用普通比较判别法 #

当$n \geq 1$时，$n^5 + 7 \leq n^5 + n^5 = 2n^5$（因为$n \geq 1$时$7 \leq n^5$），所以：
$$
\frac{n^4}{n5+7} \geq \frac{n^4}{2n5} = \frac{1}{2n}
$$
而级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$，它是调和级数的一半，显然也是发散的。根据比较判别法，当$0 \leq b_n \leq a_n$且$\sum b_n$发散时，$\sum a_n$也发散，所以原级数发散。

总结一下：原级数是发散的，你的初始选的$b_n$没问题，但得用对比较判别法的方向，或者用极限形式来验证，就能得到正确结论了。

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