关于非平凡连通Tychonoff空间不可数的替代证明问询

没问题，我们直接用Tychonoff空间的核心性质来推导，完全不需要涉及Lindelöf空间的相关结论，思路非常直接：

先明确关键定义 #

• 非平凡空间：至少包含两个不同的点；
• Tychonoff空间：满足T₁公理（单点集是闭集），且是完全正则的——即对任意点$x \in X$和不包含$x$的闭集$F$，存在连续函数$f: X \to [0,1]$，使得$f(x)=0$且$f(F) \subseteq {1}$；
• 连通空间：连续映射下的像必然是连通的（这是连通性的核心性质之一）。

正式证明步骤 #

1. 设$X$是一个非平凡连通Tychonoff空间，任取两个不同的点$x, y \in X$。
2. 由于$X$是T₁空间，单点集${y}$是闭集，且$x \notin {y}$。根据完全正则性，存在连续函数$f: X \to [0,1]$，满足$f(x)=0$，$f(y)=1$。
3. 因为$X$是连通空间，连续映射的像$f(X)$是$[0,1]$的连通子集。
4. 实数轴上的连通子集都是区间，而$f(X)$包含0和1，因此$f(X)$是一个包含0和1的区间（比如$[0,1]$本身，或者某个子区间，但无论如何，这类区间的基数都是不可数的）。
5. 由于$f$是从$X$到$f(X)$的满射，$X$的基数必然大于等于$f(X)$的基数。而$f(X)$不可数，因此$X$也一定是不可数的。

这样就完成了证明，全程只用到了Tychonoff空间的基本性质和连通性的核心推论，完全避开了Lindelöf空间的相关内容，刚好匹配你的需求。

如果之后你还是需要证明“正则Lindelöf空间是正规空间”，其实也有简洁的方法，但既然上面的推导已经直接解决了你的核心问题，就不需要绕到正规性的方向了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bary12