函数求导与积分复合运算咨询：含乘积与变限积分的导数计算

好问题！碰到这种「函数乘变上限积分」的导数，绝对要先用乘积法则，而不是先算积分再乘完求导——当然不是说后者完全不行，但不仅麻烦，还不通用（比如遇到积分算不出初等函数的情况就直接卡壳了）。

咱们一步步拆解你给的式子：$$ \frac d {dx} \left (x^6(\int_{0}{\sin x} \sqrt{t} dt)\right )$$

第一步：确定乘积法则的两个部分 #

把整个式子看成两个函数的乘积：

• $u(x) = x^6$（普通幂函数）
• $v(x) = \int_{0}^{\sin x}\sqrt{t}dt$（变上限积分函数）

根据乘积法则：$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$，我们需要分别算出$u'(x)$和$v'(x)$。

第二步：计算$u'(x)$ #

这个很简单，用幂函数求导法则直接算：
$$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^6) = 6x^5$$

第三步：计算$v'(x)$（核心：FTOC II + 链式法则） #

这里要用到微积分基本定理第二部分（FTOC II），但因为积分上限是$\sin x$（不是$x$本身），所以必须结合链式法则：

如果$F(x) = \int_{a}^{g(x)}f(t)dt$，那么$F'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x)$

对应到咱们的$v(x)$：

• $f(t) = \sqrt{t}$（被积函数）
• $g(x) = \sin x$（积分上限）
• $g'(x) = \cos x$（上限函数的导数）

代入公式得到：
$$v'(x) = \sqrt{\sin x} \cdot \cos x$$
（注：这里默认$\sin x \geq 0$，保证根号有意义，题目一般会隐含这个定义域条件）

第四步：合并结果 #

把$u'(x)$、$v(x)$、$u(x)$、$v'(x)$代入乘积法则，得到最终导数：
$$
\begin{align*}
\frac{d}{dx}\left(x^6\int_{0}{\sin x}\sqrt{t}dt\right) &= 6x^5 \cdot \int_{0}^{\sin x}\sqrt{t}dt + x^6 \cdot \sqrt{\sin x}\cos x
\end{align*}
$$

可选：化简积分后的形式 #

如果想把积分算出来进一步化简，先计算$\int_{0}^{\sin x}\sqrt{t}dt$：
$$\int_{0}^{\sin x}\sqrt{t}dt = \frac{2}{3}t^{{3/2}\bigg|_{0}}{\sin x} = \frac{2}{3}(\sin x)^{3/2}$$

代入原式后整理：
$$
\begin{align*}
&6x^5 \cdot \frac{2}{3}(\sin x)^{3/2} + x^6\cos x\sqrt{\sin x} \
=&4x^5(\sin x)^{3/2} + x^6\cos x\sqrt{\sin x} \
=&x^5\sqrt{\sin x}(4\sin x + x\cos x)
\end{align*}
$$

两种形式都是正确的，具体看题目要求哪种。

总结一下 #

遇到「函数×变上限积分」的导数，记住这两步：

• 先套乘积法则拆分求导项
• 对变上限积分部分求导时，用FTOC II + 链式法则处理上限的复合函数

没必要先算积分（除非积分特别简单，或者题目明确要求），因为这种方法更通用，能处理所有变上限积分的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Michael Johnson