代数Galois扩张K/F中，固定域为F的子群G是否等于Gal(K/F)？

嘿，这个问题问得特别关键——从有限Galois扩张推广到一般的代数Galois扩张（包含无限Galois扩张的情况），不能直接套用有限情形的结论，核心差异在于无限Galois群的拓扑结构。

先回顾有限的情况：

当$K/F$是有限Galois扩张时，戴德金引理（或者说有限Galois扩张的完美伽罗瓦对应）确实保证了：如果子群$G \leq \text{Gal}(K/F)$的固定域$\text{Fix}(G)=F$，那么$G=\text{Gal}(K/F)$。这是因为有限群的所有子群都是闭子群，而有限Galois扩张的伽罗瓦对应是子群和中间域之间的双射。

但到了无限代数Galois扩张的场景，情况就不一样了：
无限Galois群$\text{Gal}(K/F)$会被赋予Krull拓扑（一种profinite拓扑，以有限Galois子群的陪集作为开邻域基），而此时的伽罗瓦对应是闭子群与中间域之间的双射——只有闭子群才会和中间域一一对应。

那如果$G$是$\text{Gal}(K/F)$的一个非闭子群，且$\text{Fix}(G)=F$，会发生什么？

• 首先，$G$的拓扑闭包$\overline{G}$的固定域$\text{Fix}(\overline{G})=\text{Fix}(G)=F$（因为固定域只由群中元素的公共不动点决定，闭包中的元素是群中元素的极限，它们的不动点和原群的不动点一致）。
• 根据伽罗瓦对应，$\text{Fix}(\overline{G})=F$意味着$\overline{G}=\text{Gal}(K/F)$，也就是$G$在$\text{Gal}(K/F)$中是稠密的真子群。

举个具体的反例：
取$F=\mathbb{Q}$，$K$是$\mathbb{Q}$的代数闭包$\overline{\mathbb{Q}}$，其绝对Galois群$\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$是一个无限profinite群。考虑$G$是由所有有限阶自同构生成的子群，这个子群在$\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$中是稠密的（任何开邻域对应某个有限Galois扩张的自同构群，而有限阶自同构可以覆盖这些有限子群），因此$\text{Fix}(G)=\text{Fix}(\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))=\mathbb{Q}$，但$G$是$\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$的真子群（因为绝对Galois群中存在无限阶元素）。

再比如，取$F=\mathbb{F}_p(t)$（有限域上的有理函数域），$K$是$F$的所有有限循环扩张的并，此时$\text{Gal}(K/F) \cong \hat{\mathbb{Z}}$（整数的profinite完备化）。子群$\mathbb{Z} \leq \hat{\mathbb{Z}}$是稠密的真子群，对应的固定域$\text{Fix}(\mathbb{Z})=F$，但$\mathbb{Z} \neq \hat{\mathbb{Z}}$。

总结 #

• 若$K/F$是有限Galois扩张：结论成立，$\text{Fix}(G)=F$则$G=\text{Gal}(K/F)$。
• 若$K/F$是无限代数Galois扩张：只有当$G$是$\text{Gal}(K/F)$的闭子群时，$\text{Fix}(G)=F$才能推出$G=\text{Gal}(K/F)$；如果$G$是非闭子群，存在真子群$G$满足$\text{Fix}(G)=F$（即稠密真子群）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Reza Fallah Moghaddam