是否存在满足特定条件的非零C^∞函数p？——Donaldson黎曼曲面相关

首先可以明确告诉你：这样的函数是存在的，它的构造依赖于分析里常用的光滑截断函数技巧，这也是微分几何/复分析中处理局部到整体过渡的常用手段。

具体构造步骤 #

我们可以分两步来完成：

1. 先构造一个$C^\infty$的截断函数$\chi(t)$：

   • 当$t \leq 1$时，$\chi(t) = 1$；
   • 当$t \geq 2$时，$\chi(t) = 0$；
   • 在$(1,2)$区间内，$\chi(t)$是光滑递减的，从1连续过渡到0。

   经典的构造方式可以用指数型的光滑函数：先定义
   $$\rho(s) = \begin{cases} e^{-1/(s(1-s))} & 0 < s < 1 \ 0 & \text{其他情况} \end{cases}$$
   这是一个标准的$C^\infty$函数，它在$(0,1)$内光滑非零，在区间外为0。然后通过积分归一化得到$\chi(t)$：
   $$\chi(t) = \begin{cases} 1 & t \leq 1 \ \frac{\int_t^2 \rho(s-1) ds}{\int_1^2 \rho(s-1) ds} & 1 < t < 2 \ 0 & t \geq 2 \end{cases}$$
   这样$\chi(t)$就满足我们需要的光滑截断性质。

2. 定义目标函数$p(t)$：
   $$p(t) = \chi(t) \cdot 1 + (1 - \chi(t)) \cdot \frac{1}{t}$$

验证性质 #

• 当$t$较小时（比如$t \leq 1$），$\chi(t)=1$，所以$p(t)=1$，完全符合要求；
• 当$t$较大时（比如$t \geq 2$），$\chi(t)=0$，所以$p(t)=\frac{1}{t}$，也满足条件；
• 在$(1,2)$的过渡区间里，$p(t)$是两个$C^{\infty$函数的线性组合（系数$\chi(t)$和$1-\chi(t)$都是$C}\infty$），所以整体是$C^\infty$的；
• 显然$p(t)$不恒为零，比如取$t=0.5$，$p(t)=1 \neq 0$。

和Donaldson《黎曼曲面》命题18的联系 #

这个函数$p(t)$应该是用来辅助证明亚纯1-形式的零点-极点公式的。比如，在证明过程中，我们可能需要把亚纯形式转化为光滑形式来应用斯托克斯定理，这时候就可以用$p(t)$（结合局部坐标的模长$|z|=t$）来“截断”亚纯形式在极点附近的行为：在靠近原点（局部坐标的极点）的地方保留亚纯形式的原行为，在远离原点的地方替换成光滑的形式，从而通过积分计算得到零点数与极点数的差值关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者GouldBach