证明h是从拓扑空间X到赋予子空间拓扑的Z的连续函数

咱们从连续函数和子空间拓扑的核心定义出发来推导，思路非常清晰：

先明确核心定义 #

首先回忆两个关键的拓扑学定义：

• 连续函数：拓扑空间之间的函数 ( g: A \to B ) 连续，当且仅当对B中的任意开集 ( W )，( g^{-1}(W) )（W在g下的原像）是A中的开集。
• 子空间拓扑：若Z是Y的子空间，那么Z中的所有开集都形如 ( V \cap Z )——其中V是Y中的开集；反过来，Y中任意开集V与Z的交集，都是Z的开集。

逐步推导证明 #

已知条件：( f: X \to Y ) 连续，( Z \supseteq f(X) )（f的所有像点都落在Z里），( h(x) = f(x) ) 对所有 ( x \in X ) 成立，Z赋予Y的子空间拓扑。我们要证明h连续：

1. 任取Z中的一个开集U。根据子空间拓扑的定义，必然存在Y中的某个开集V，使得 ( U = V \cap Z )。
2. 计算h在U下的原像：
   [
   h^{-1}(U) = { x \in X \mid h(x) \in U }
   ]
   因为h(x)和f(x)完全相等，所以上式等价于 ( { x \in X \mid f(x) \in U } )。
3. 这里要用到 ( f(X) \subseteq Z ) 的关键条件：对任意x∈X，f(x)本来就属于Z，所以 ( f(x) \in U = V \cap Z ) 就等价于 ( f(x) \in V )——毕竟f(x)已经在Z里了，只要同时满足在V中即可。
4. 由此可以推导出：( h^{-1}(U) = { x \in X \mid f(x) \in V } = f^{-1}(V) )。
5. 因为f是连续函数，V是Y中的开集，根据连续函数的定义，( f^{-1}(V) ) 是X中的开集。也就是说，( h^{-1}(U) ) 是X中的开集。

结论 #

由于Z中的任意开集U的原像 ( h^{-1}(U) ) 都是X中的开集，完全符合连续函数的定义，所以h是从X到赋予子空间拓扑的Z的连续函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者HOON