关于Kosniowski习题中n≥2时Sⁿ单连通证明的疑问

嘿，我来帮你把这道习题里的疑惑点掰扯清楚～

首先先回顾习题里的证明前提：

设n≥2，由于Sⁿ是连通、局部道路连通且半局部道路连通的，因此存在万有覆叠p:E→Sⁿ，其中E是单连通的。

接下来你疑惑的这个连续映射f的设定，其实是整个证明里用来推导矛盾的关键一步：

• 我们构造连续映射f: Dⁿ → Sⁿ，要求它把Dⁿ的边界∂Dⁿ（也就是拓扑意义上的Sⁿ⁻¹）映射到Sⁿ里的某个单点，比如最直白的例子：把Dⁿ所有点都映到Sⁿ上的同一个定点，这显然满足f(∂Dⁿ)是单点集的条件。

那这个f到底怎么帮我们证明Sⁿ单连通呢？核心逻辑是这样的：

1. 先利用f的性质，诱导出一个从Sⁿ到Sⁿ的连续映射g：因为f把整个边界捏成了单点，我们可以把Dⁿ按边界捏合的商空间（也就是Sⁿ）映射到Sⁿ，这个g其实就是把Sⁿ看作Dⁿ捏合边界得到的空间后，由f自然诱导的商映射，它是个满射。
2. 接着看之前提到的万有覆叠p:E→Sⁿ，因为E是单连通的，根据覆叠映射的提升准则，g可以被提升为一个连续映射ĝ: Sⁿ → E，满足p∘ĝ = g。
3. 现在我们假设Sⁿ不是单连通的，那它的基本群π₁(Sⁿ)就是非平凡的，这意味着万有覆叠p的纤维数（也就是每个点的原像个数）等于π₁(Sⁿ)的阶数，至少是2。但这里矛盾就来了：
   • 当n≥2时，Sⁿ去掉任意一个点都是可缩空间（和Dⁿ同伦等价），而E作为Sⁿ的万有覆叠，是局部同胚于Sⁿ的单连通流形。结合ĝ是满射（因为g是满射，p∘ĝ=g），E必须和Sⁿ同胚——但Sⁿ是单连通的，这就意味着覆叠映射p的纤维数只能是1，和我们之前假设的纤维数≥2矛盾。

所以这个矛盾就推翻了“Sⁿ非单连通”的假设，从而证明了当n≥2时Sⁿ是单连通的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matteo Spadetto