交换环中理想的对偶紧性性质是否有相关研究及命名？

嘿，这个问题问得相当到位——你提到的这个性质确实是素理想紧性的对偶概念，在交换代数和格论的交叉领域里已经有相关的研究和标准命名啦！

下面给你梳理一下关键信息：

• 核心命名：完全交素理想（Completely Meet-Prime Ideal）
  在格论的框架下（交换环的全体理想按包含关系⊆构成一个完备格），这个性质对应格中的完全交素元。具体来说，对于理想$I$，若满足：当$I$包含一族理想的交集（即$I \supseteq \bigcap_{\alpha} J_\alpha$）时，必存在某个$\alpha$使得$I \supseteq J_\alpha$，那么$I$就被称为完全交素理想。
• 和素理想紧性的对偶关系
  你观察得很准：素理想紧性是“若$I$包含于一族素理想的并集，则$I$包含于某个素理想”，这对应格中的完全并素元；而你问的性质是它的对偶，对应完全交素元，二者在理想格的逆序变换下可以互相转化。
• 相关研究场景
  这个性质在研究非诺特环的理想结构时会经常出现，比如用来刻画某些特殊的环类（比如算术环或Prüfer环）的理想特性。另外，有限生成理想往往天然满足这个性质——如果$I$是有限生成的，假设$I=(a_1,a_2,\dots,a_n)$，若$I \supseteq \bigcap_{\alpha} J_\alpha$，那么对于每个生成元$a_i$，如果不存在某个$J_\alpha$包含$a_i$，就会推出存在元素在所有$J_\alpha$中但不在$I$里，矛盾，所以有限生成理想必然是完全交素的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A.Rajanda