给定总发生2个事件，求两事件均来自Xₜ泊松过程的概率

问题回顾 #

设{Xₜ}、{Yₜ}、{Zₜ}为独立泊松过程，速率分别为λ₁、λ₂、λ₃。假设事件来自上述所有过程，现已知总共发生了2个事件，求这两个事件均属于过程{Xₜ}的概率。

解法推导 #

我会从条件概率的基本定义出发，结合泊松过程的性质一步步推导结果：

1. 泊松过程的叠加性质
   首先要明确：三个独立的泊松过程叠加后，得到的{Xₜ+Yₜ+Zₜ}仍然是一个泊松过程，它的总速率为 λ = λ₁ + λ₂ + λ₃。

2. 条件概率的展开
   我们要求的是「已知总事件数为2时，2个事件都属于{Xₜ}的概率」，用概率符号表示为：
   P(Xₜ=2 | Xₜ+Yₜ+Zₜ=2)

   根据条件概率的定义，这个概率可以展开为：

   P(Xₜ=2 | Xₜ+Yₜ+Zₜ=2) = P(Xₜ=2, Xₜ+Yₜ+Zₜ=2) / P(Xₜ+Yₜ+Zₜ=2)
   

3. 计算分子部分
   Xₜ=2 且 Xₜ+Yₜ+Zₜ=2 等价于 Xₜ=2, Yₜ=0, Zₜ=0（因为三个过程独立，总事件数为2时，只有Xₜ发生2个、其余过程都不发生才能满足条件）。

   利用独立事件的概率乘法规则，结合泊松分布的概率公式 P(Nₜ=k) = (μt)^k e^(-μt)/k!（μ为泊松过程速率），分子的概率为：

   P(Xₜ=2) * P(Yₜ=0) * P(Zₜ=0) = [(λ₁t)² e^(-λ₁t)/2!] * e^(-λ₂t) * e^(-λ₃t)
   

   整理后得到：

   (λ₁t)² e^(-(λ₁+λ₂+λ₃)t) / 2!
   

4. 计算分母部分
   分母是总事件数为2的概率，也就是速率为λ=λ₁+λ₂+λ₃的泊松过程在时刻t发生2个事件的概率：

   P(Xₜ+Yₜ+Zₜ=2) = [(λ₁+λ₂+λ₃)t]^2 e^(-(λ₁+λ₂+λ₃)t) / 2!
   

5. 化简得到最终结果
   将分子分母相除，e^(-(λ₁+λ₂+λ₃)t)、2!、t²这些项都会被约掉，最终得到：

   P(Xₜ=2 | Xₜ+Yₜ+Zₜ=2) = λ₁² / (λ₁+λ₂+λ₃)²
   

更直观的思路 #

其实还有更快捷的理解方式：当泊松过程叠加后，每个发生的事件属于某个子过程的概率，等于该子过程的速率占总速率的比例，且各个事件的归属是相互独立的。所以2个事件都属于{Xₜ}的概率就是 (λ₁/(λ₁+λ₂+λ₃))²，和上面的推导结果完全一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nikolaos Skout