三角不等式证明求助：已知A+B+C=π，求证sinA+sinB−cosC≤3/2

已知$A+B+C=\pi$且$A,B,C>0$，要证的不等式是：
$$\sin{A}+\sin{B}-\cos{C}\le\frac32$$

你提到的两种转换思路其实都可以继续推进，这里给你一个更清晰的推导方向：

第一步：利用$C=\pi-A-B$替换，结合和差化积简化 #

首先，因为$C=\pi-A-B$，所以$-\cos{C}=\cos(A+B)$，原式可改写为：
$$\sin A + \sin B + \cos(A+B)$$

对$\sin A + \sin B$使用和差化积公式：
$$\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$
而$\frac{A+B}{2}=\frac{\pi-C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2}$，因此$\sin\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2}$，代入后得到：
$$\sin A + \sin B = 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$

第二步：用半角公式展开$\cos C$ #

根据三角恒等式，$\cos C=2\cos^2\frac{C}{2}-1$，将其代入原式：
$$2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} - (2\cos^2\frac{C}{2}-1)$$
整理后得到：
$$-2\cos^2\frac{C}{2} + 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + 1$$

第三步：转化为二次函数求最值 #

令$t=\cos\frac{C}{2}$，由于$0<C<\pi$，所以$t\in(0,1)$，原式变为关于$t$的二次函数：
$$f(t) = -2t^2 + 2t\cos\frac{A-B}{2} + 1$$

这是一个开口向下的二次函数，而$\cos\frac{A-B}{2}\le1$（当且仅当$A=B$时取等号）。当$\cos\frac{A-B}{2}=1$时，函数简化为：
$$f(t) = -2t^2 + 2t + 1$$
该二次函数的顶点在$t=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$处，代入计算得：
$$f(\frac{1}{2})=-2\times(\frac{1}{2})^2 + 2\times\frac{1}{2} +1 = \frac{3}{2}$$

此时对应的等号成立条件为：

• $\cos\frac{A-B}{2}=1$ → $A=B$
• $t=\cos\frac{C}{2}=\frac{1}{2}$ → $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{3}$ → $C=\frac{2\pi}{3}$
  结合$A+B+C=\pi$，可得$A=B=\frac{\pi}{6}$。

由此可证原式的最大值为$\frac{3}{2}$，不等式成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anvit