紧度量空间开覆盖的Lebesgue数存在性证明问询

刚好对这个问题熟得很，咱们用反证法来一步步推导：

首先明确要证的命题：

设E为紧度量空间，${U_i}_{i∈I}$是一族覆盖E的开集。证明存在实数ε>0，使得E中任意半径为ε的闭球都完全包含在至少一个开集$U_i$中。

接下来是反证法的核心步骤：

• 先做反证假设：要是结论不成立的话，那意味着对任意的ε>0，总能找到某个点$p∈E$，使得闭球$\overline{B}_ε(p)$不被任何一个$U_i$包含——也就是$\overline{B}_ε(p) \cap U_i^C \neq \emptyset$对所有$i∈I$都成立。
• 利用开覆盖的基本性质：既然$p∈E$，而${U_i}$是E的开覆盖，那肯定存在某个$i_0∈I$，让$p∈U_{i_0}$。又因为$U_{i_0}$是开集，根据度量空间开集的定义，必然存在一个δ>0，使得开球$B_δ(p) \subset U_{i_0}$。
• 构造收敛序列：咱们取$\varepsilon_n = 1/n$（n是正整数），根据反证假设，每个n都对应一个$p_n∈E$，使得$\overline{B}_{1/n}(p_n)$不包含于任何$U_i$。因为E是紧度量空间，所以序列${p_n}$一定有收敛子列，不妨设子列$p_{n_k}$收敛到某个$q∈E$（当k→∞时）。
• 覆盖极限点：既然$q∈E$，那它肯定被开覆盖里的某个$U_j$包含，也就是$q∈U_j$。同样，$U_j$是开集，所以存在r>0，使得$B_r(q) \subset U_j$。
• 导出矛盾：当k足够大的时候，一方面$d(p_{n_k}, q) < r/2$，另一方面$1/n_k < r/2$。那对于闭球$\overline{B}_{1/n_k}(p_{n_k})$里的任意一点x，都有$d(x, q) ≤ d(x, p_{n_k}) + d(p_{n_k}, q) < 1/n_k + r/2 < r/2 + r/2 = r$，这就说明x属于$B_r(q)$，也就是属于$U_j$。换句话说，这个闭球$\overline{B}_{1/n_k}(p_{n_k})$完全包含在$U_j$里了，这和我们之前假设的“它不包含于任何$U_i$”直接矛盾。
• 收尾结论：既然反证的假设导出了矛盾，那原命题就成立了——确实存在这样的ε>0，这个ε也被称为该开覆盖的Lebesgue数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jungleshrimp