当求和上限为随机变量时，如何计算∑_{i=1}^K r_i的期望？

嘿，你完全不用靠暴力代数展开来解决这个问题！这里的核心技巧是利用期望的线性性质——哪怕求和的项数是随机变量，这个性质依然成立，这也是Wald等式（Wald's Identity）的基础思路，我给你一步步拆解清楚：

方法1：利用条件期望（双重期望） #

我们先把目标期望写成条件期望的形式，这是处理随机项数求和的常用手段：
设$S_K = \sum_{i=1}^{K}r_i$，我们需要计算$E[S_K]$。根据期望的迭代法则（Law of Iterated Expectations）：
$$
E[S_K] = E\left[ E\left[ \sum_{i=1}^{K}r_i \mid K \right] \right]
$$

当给定$K=j$时，条件期望里的求和就变成了固定项数的和：
$$
E\left[ \sum_{i=1}^{K}r_i \mid K=j \right] = \sum_{i=1}^{j}r_i
$$

把这个代入回去，结合$P[K=j]=p_j$，我们可以写成：
$$
E[S_K] = \sum_{j=0}^{\infty} p_j \cdot \sum_{i=1}^{j}r_i
$$

接下来交换求和顺序（只要满足绝对收敛条件，比如$\sum_{j=0}^{\infty} p_j \sum_{i=1}^j |r_i| < \infty$，实际问题里大多满足这个要求），就可以把式子简化为：
$$
E[S_K] = \sum_{i=1}^{\infty} r_i \cdot \sum_{j=i}^{\infty} p_j
$$

而$\sum_{j=i}^{\infty} p_j$就是$P[K \geq i]$（也就是随机变量$K$至少取到$i$的概率），所以最终结果可以写成：
$$
E[S_K] = \sum_{i=1}^{\infty} r_i \cdot P(K \geq i)
$$

方法2：利用指示变量 #

另一种更直观的方式是引入指示变量：对每个$i \geq 1$，定义
$$
I_i = \begin{cases}
1, & \text{如果 } K \geq i \
0, & \text{否则}
\end{cases}
$$

这样一来，随机和$\sum_{i=1}^{{K}r_i$就可以转化为无穷项的和$\sum_{i=1}}{\infty} r_i I_i$——因为当$i>K$时，$I_i=0$，那些项会自动消失。

然后利用期望的线性性质（注意：线性性质不要求变量独立，这是关键！），我们可以把期望拆成各项期望的和：
$$
E\left[\sum_{i=1}^{\infty} r_i I_i\right] = \sum_{i=1}^{\infty} r_i \cdot E[I_i]
$$

而指示变量的期望就是对应事件的概率，也就是$E[I_i] = P(K \geq i)$，所以最终得到的结果和方法1完全一致：
$$
E[S_K] = \sum_{i=1}^{\infty} r_i \cdot P(K \geq i)
$$

特殊情况：如果所有$r_i$都相等 #

要是$r_i = r$（对所有$i$都是同一个常数），那结果会更简单：
$$
E[S_K] = r \cdot \sum_{i=1}^{\infty} P(K \geq i) = r \cdot E[K]
$$
这其实是因为$\sum_{i=1}^{K}r = rK$，直接取期望就是$rE[K]$，和上面的公式也能对应上（因为$\sum_{i=1}^{\infty}P(K \geq i) = E[K]$，这是非负整数随机变量期望的另一种表达形式）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Another Grad student