圆柱罐材料成本最小化：固定体积下直径与高度的最优关系

嘿，这个问题属于经典的微积分优化场景，你推测的思路完全靠谱——构建成本函数后求导找极值点，咱们一步步把它理清楚：

步骤1：设定变量与约束条件 #

先明确几个关键变量：

• 设罐壁的厚度为 t，根据题目，罐底和罐顶的厚度为 2t
• 设罐子的内半径为 r，内高度为 h；题目给定罐子的体积 V 恒定，体积公式为：
  V = πr²h
  我们可以用这个约束把 h 用 r 表示出来，方便后续化简：
  h = V/(πr²)

步骤2：构建材料成本（体积）函数 #

因为材料成本和所用材料的体积成正比（厚度均匀，成本系数不影响极值点），所以我们只需要最小化材料总体积即可：

• 罐壁的材料体积：侧面积 × 罐壁厚度，即 2πrh × t
• 罐底+罐顶的材料体积：两个圆盘的体积（每个圆盘面积为 πr²，厚度为 2t），即 2 × πr² × 2t = 4πr²t

把两部分加起来，总材料体积 M(r) 为：

M(r) = 4πr²t + 2πrht

再把步骤1里的 h = V/(πr²) 代入，消去变量 h，得到只关于 r 的函数：

M(r) = 4πr²t + 2πr × (V/(πr²)) × t
= 4πr²t + (2Vt)/r

因为 t 和 V 都是常数，我们可以忽略系数（不影响极值点的位置），简化后的目标函数为：
f(r) = 4πr² + 2V/r

步骤3：求导找极值点 #

对 f(r) 关于 r 求一阶导数：
f’(r) = 8πr - 2V/r²

令一阶导数等于0，求解临界点：

8πr - 2V/r² = 0
8πr = 2V/r²
4πr³ = V

再把体积公式 V = πr²h 代入上式：

4πr³ = πr²h
4r = h

因为直径 d = 2r，所以 h = 4r = 2d，也就是罐高是直径的2倍。

最后验证一下二阶导数 f''(r) = 8π + 4V/r³，显然它始终为正，说明这个临界点对应的是函数的极小值点，也就是我们要找的成本最小值点。

最终结论 #

在罐子体积恒定的前提下，要让材料成本最低，罐高应该等于直径的2倍（或者说直径是罐高的1/2）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user377761