$\mathbb{R}$中开闭集在$\mathbb{R}^{n>1}$的性质及$\mathbb{R}^2$开集证明问询

嘿，这两个问题其实都是拓扑里子空间与大空间拓扑关系的经典问题，我来给你掰扯清楚：

答案是不一定，得分开集和闭集两种情况细说：

• 先看开集：$\mathbb{R}$中的开集（比如$(0,1)$）放到$\mathbb{R}^{n$里（通常看作所有形如$(x,0,...,0)$，$x∈(0,1)$的点构成的子集），它**不是$\mathbb{R}}n$中的开集**。原因很简单：根据$\mathbb{R}^{n$开集的定义，每个点都要有一个完全包含在集合里的$n$维开球。但你取$(0.5,0,...,0)$这个点，任何$n$维开球里都会包含坐标不全为0的点，这些点不在原来的$\mathbb{R}$开集里，所以这个子集不符合开集的定义。唯一例外是整个$\mathbb{R}$本身，它在$\mathbb{R}$中既是开集也是闭集，但在$\mathbb{R}}n$中它是闭集（作为$n$维空间里的超平面，补集是开集），但不是开集。
• 再看闭集：$\mathbb{R}$中的闭集（比如$[0,1]$、单点集${5}$）放到$\mathbb{R}^{n$里**都是闭集**。因为$\mathbb{R}}n$中的闭集是包含所有极限点的集合，而$\mathbb{R}$中闭集的极限点如果存在于$\mathbb{R}^{n$中，它的非$x$坐标必然都是0，所以肯定属于原集合。另外从补集角度看：原闭集的补集在$\mathbb{R}$中是开集，它在$\mathbb{R}}n$中的补集是$\mathbb{R}^n$去掉这个闭子集，这个补集是开集（任取补集中的点，要么不在$x$轴上，取足够小的开球不碰$x$轴；要么在$x$轴上但不在原闭集里，取足够小的开球包含的$x$轴上的点都不在原闭集里），所以原集合是闭集。

绝对不行，这是两个完全不同拓扑定义下的结论，不能直接迁移。
举个最直观的反例：$(0,1)$在$\mathbb{R}$中是开集，但当你把它看作$\mathbb{R}^{2$中的子集${(x,0)|x∈(0,1)}$时，它不是$\mathbb{R}}2$中的开集——刚才问题1里已经解释过，这个子集里的任何点都找不到一个二维开圆盘（$\mathbb{R}^2$中的开球）完全包含在子集里。
要证明一个集合在$\mathbb{R}^{2$中是开集，必须严格按照$\mathbb{R}}2$的开集定义来：对集合中的每一个点$(x,y)$，都存在一个半径$r>0$，使得所有满足$\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)2}<r$的点$(x',y')$都在这个集合里。不能用一维的结论直接套，因为一维和二维的“邻域”概念完全不一样。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J.Jones