证明满足特定条件的函数f:[0,1]→[0,1]存在不动点

嘿，我来顺着你构造的集合思路，把这个不动点的证明完整梳理清楚：

先明确已知条件 #

• 函数$f:[0,1] \to [0,1]$，在区间内任意点都存在单侧极限，且在端点0和1处连续
• 对任意$x \in (0,1)$，满足不等式：$$\lim_{t\nearrow x}f(t) \leq f(x) \leq \lim_{t \searrow x}f(t)$$

集合定义与非空性验证 #

你构造的两个集合完全合理：

• $A = { x \in [0,1] \mid f(x) \geq x }$
• $B = { x \in [0,1] \mid f(x) \leq x }$

首先验证集合非空：

• 因为$f$在0处连续，且$f(0) \in [0,1]$，显然$f(0) \geq 0$，所以$0 \in A$
• 同理，$f$在1处连续，$f(1) \leq 1$，所以$1 \in B$

取上确界与下确界，分情况推导 #

令$\alpha = \sup A$（$A$的上确界），$\beta = \inf B$（$B$的下确界），接下来分情况讨论：

情况1：$\alpha \in A$且$\alpha \in B$

这是最直接的情况：$f(\alpha) \geq \alpha$且$f(\alpha) \leq \alpha$，直接推出$f(\alpha) = \alpha$，$\alpha$就是不动点，证明完成。

情况2：假设$\alpha \notin B$（即$f(\alpha) > \alpha$）

因为$\alpha$是$A$的上确界，所以对任意$t > \alpha$，$t \notin A$，也就是$f(t) < t$。那么取右侧极限：
$$\lim_{t \searrow \alpha}f(t) \leq \lim_{t \searrow \alpha}t = \alpha$$
但根据已知条件，$f(\alpha) \leq \lim_{t \searrow \alpha}f(t)$，结合假设$f(\alpha) > \alpha$，就会得到$\alpha < f(\alpha) \leq \lim_{t \searrow \alpha}f(t) \leq \alpha$，这显然是矛盾的。因此这个假设不成立，$\alpha$必须属于$B$。

情况3：假设$\beta \notin A$（即$f(\beta) < \beta$）

同理，$\beta$是$B$的下确界，所以对任意$t < \beta$，$t \notin B$，也就是$f(t) > t$。取左侧极限：
$$\lim_{t \nearrow \beta}f(t) \geq \lim_{t \nearrow \beta}t = \beta$$
根据已知条件，$\lim_{t \nearrow \beta}f(t) \leq f(\beta)$，结合假设$f(\beta) < \beta$，会得到$\beta \leq \lim_{t \nearrow \beta}f(t) \leq f(\beta) < \beta$，同样矛盾。所以这个假设也不成立，$\beta$必须属于$A$。

补充：$\alpha = \beta$的必然性

如果$\alpha < \beta$，那么对于任意$x \in (\alpha, \beta)$，$x$既不属于$A$也不属于$B$，也就是$f(x) < x$且$f(x) > x$，这显然不可能。因此$\alpha = \beta$。

结论 #

结合上面的推导，$\alpha = \beta$既属于$A$又属于$B$，所以$f(\alpha) = \alpha$，函数$f$至少存在一个不动点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者AndrewC