非空对应G下序列集S(x₀)非空性的证明问询

先把你的问题明确梳理出来：

设$G: \mathbb{R} \rightrightarrows \mathbb{R}$为集值映射（对应），满足对所有$x \in \mathbb{R}$，$G(x) \neq \emptyset$。试问集合：
$$ S(x_{0}) := {(x_{1}, x_{2}, \dots) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}: x_{1} \in G(x_{0}) \text{ 且对所有 } n \in \mathbb{N}, x_{n+1} \in G(x_{n})} $$
对所有$x_{0} \in \mathbb{R}$是否均非空？

你的直觉完全正确，这个结论确实成立，但它的证明必须依赖选择公理（Axiom of Choice）——这也是你觉得“显然”却抓不到证明切入点的原因：选择公理本身就贴合我们对“从非空集合里选元素”的直觉，但它是ZF公理系统外的一条独立公理，需要明确调用它来完成推导。

下面是具体的证明思路拆解：

• 第一步：理解无穷递归的核心障碍
  有限步的序列构造毫无难度：比如选$x_1 \in G(x_0)$，再选$x_2 \in G(x_1)$，……，选到第k步都没问题。但要构造无穷长的序列，我们需要保证每一步的选择都能“无限延续”下去——这就需要一个能覆盖所有$\mathbb{R}$中元素的选择规则，而不是零散的单次选择。

• 第二步：用选择公理构造全局选择函数
  因为对每个$x \in \mathbb{R}$，$G(x)$都是非空集合，根据选择公理，存在一个选择函数$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，使得对任意$x \in \mathbb{R}$，都有$f(x) \in G(x)$。这个函数相当于给每个$G(x)$都预先指定了一个“代表元素”，彻底解决了“每次选什么”的问题。

• 第三步：递归生成符合要求的无穷序列
  有了选择函数$f$，我们就能轻松递归定义序列：

  • 令$x_1 = f(x_0)$，显然满足$x_1 \in G(x_0)$；
  • 对任意自然数$n$，令$x_{n+1} = f(x_n)$，此时$x_{n+1} \in G(x_n)$（因为$f(x_n)$本身就属于$G(x_n)$）。
    这样生成的序列$(x_1, x_2, \dots)$完全满足$S(x_0)$的定义，所以$S(x_0)$必然非空。

• 额外补充：为什么离不开选择公理？
  如果没有选择公理，我们无法保证存在这样的全局选择函数$f$。比如当每个$G(x)$都是$\mathbb{R}$的非空子集，但没有统一的显式选择规则时（比如$G(x)$是所有包含$x$的无理数子集），没有选择公理的话，我们没法完成无穷步的选择——这也是选择公理被提出的核心场景之一。

举个直观的例子：如果$G(x) = {x+1}$（单值映射），那选择函数就是$f(x)=x+1$，序列就是$x_0+1, x_0+2, x_0+3, \dots$；如果$G(x) = [x, x+1]$，我们可以选$f(x)=x$，得到恒常序列$x_0, x_0, x_0, \dots$——这些都是显式的选择函数，但对更复杂的集值映射，就必须依赖选择公理的存在性保证了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者vlr