轮盘赌策略收益概率问题：求解P(X>0)及相关判定

(a) 计算 ( P(X>0) ) #

先拆解所有可能的游戏路径，明确每种路径的收益和对应概率：

• 路径1：首次下注直接赢
  第一次押红色命中的概率是 ( \frac{18}{38} )，此时赌徒净赚1欧元（( X=1>0 )），直接离场。
• 路径2：首次下注输，后续两次全赢
  第一次输的概率是 ( \frac{20}{38} )，此时必须继续下注两次。只有当后续两次都赢时，总收益才为正：第一次输亏1欧，第二次赢赚1欧，第三次赢再赚1欧，总收益 ( -1+1+1=1>0 )。这种情况的概率是 ( \frac{20}{38} \times \frac{18}{38} \times \frac{18}{38} )。

将两种情况的概率相加，得到 ( P(X>0) )：

P(X>0) = 18/38 + (20×18×18)/(38³)

化简后精确值为：

P(X>0) = 4059/6859 ≈ 0.5918（即约59.2%）

(b) 策略盈利性判断（补充常见完整提问） #

如果问题是判断该策略是否长期有利，我们可以计算收益 ( X ) 的期望 ( E[X] )：

先明确所有收益情况及对应概率：

• ( X=1 )：概率为上述计算的 ( \frac{4059}{6859} )
• ( X=-1 )：对应首次输，后续两次一赢一输的两种情况，概率为 ( 2×\frac{20×18×20}{38³} = \frac{1800}{6859} )
• ( X=-3 )：对应三次全输的情况，概率为 ( (\frac{20}{38})³ = \frac{1000}{6859} )

计算期望：

E[X] = 1×(4059/6859) + (-1)×(1800/6859) + (-3)×(1000/6859)
     = (4059 - 1800 - 3000)/6859
     = -741/6859 ≈ -0.108

期望为负，说明长期执行该策略，赌徒平均每次会亏损约0.11欧元，策略并不有利。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user31052