通过不可约表示组合构造群：有限群相关基础技术问询

枚举所有有限群真的是块硬骨头，直到现在这个一般性问题也还没彻底解决。我最近一直在琢磨一个思路：能不能通过系统组合那些“合法”的不可约表示集合，一步步搭出特征标表，再顺着这个路子分步构造群？不过这过程里我卡壳在两个基础问题上，想跟大家掰扯掰扯：

问题1：每个群在同构意义下，是不是由它的全部不可约表示唯一确定？ #

答案是不行。最经典的反例就是四元数群 (Q_8) 和二面体群 (D_4)——这俩群不同构，但它们的不可约表示完全一样：都有4个1维表示和1个2维表示，特征标表也一模一样。你要是光看不可约表示集合，根本区分不开它们，但实际上这俩群的结构差远了：(Q_8) 里只有1个2阶元，剩下的非单位元都是4阶的；而 (D_4) 有4个2阶元，还有一个4阶的循环子群。这就说明，不同构的群可能拥有完全相同的不可约表示集合，所以群没法被它的全部不可约表示在同构意义下唯一刻画。

问题2：只要是分组为不可约表示的“特征标”集合，就一定对应某个实际存在的群吗？ #

答案还是不行。我们可以造出一些形式上看起来像特征标集合的东西，但根本找不到对应的有限群。举个例子：假设我们凑出一个“特征标集合”，它的不可约表示度数是1、1、2、3，按特征标的度数平方和等于群阶来算，这个“群”的阶应该是 (1²⁺¹2+2²⁺³2=15)。但15阶的群只能是循环群（因为15是两个不同素数的乘积，循环群是唯一的），而循环群的所有不可约表示都是1维的，一共15个，跟我们假设的度数集合完全对不上。这就说明，不是所有满足表面特征标条件的集合，都能对应到一个真实存在的有限群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Raphael J.F. Berger