利用对数求解指数：推导h=log(log(n))的疑问

嘿，这个推导其实得先把指数的嵌套关系理清楚（原公式的排版可能有点歧义，正确的应该是 $n^{(1/2)h} = 2$，这样才能得到目标结果），咱们一步步拆开来算就明白了：

• 第一步：从给定等式出发，两边取对数（算法分析里log通常默认以2为底）

  原等式：$n^{(1/2)h} = 2$
  对两边取$\log_2$，根据对数的幂法则（$\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$），左边可以展开：
  $$\log_2\left(n^{(1/2)h}\right) = \log_2(2)$$
  化简后得到：
  $$(1/2)^h \cdot \log_2(n) = 1$$

• 第二步：整理等式，把指数项单独放一边
  把$\log_2(n)$移到右边：
  $$(1/2)^h = \frac{1}{\log_2(n)}$$
  注意到$(1/2)^{h$等价于$2}{-h}$，两边取倒数后得到：
  $$2^h = \log_2(n)$$

• 第三步：再次取对数求解h
  现在两边再取一次$\log_2$：
  $$\log_2(2^h) = \log_2\left(\log_2(n)\right)$$
  左边根据$\log_a(a^k)=k$，直接化简为h，最终得到：
  $$h = \log_2\left(\log_2(n)\right)$$
  如果题目里的log是自然对数或者其他底数，形式上会是$\log(\log(n))$，本质逻辑是一致的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bob Dole