求模q下x³≡8的解之和，q为1 mod12的素数

嘿，这个问题咱们可以从多项式分解和有限域的性质入手，你提到费马定理确实是核心背景之一，咱们一步步来拆解：

• 第一步：变形原同余式
  原同余式x³ ≡ 8 mod q可以改写为x³ - 8 ≡ 0 mod q，而多项式x³ - 8能因式分解为：
  x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4)
  所以原同余式的解，就是x ≡ 2 mod q，加上二次同余式x² + 2x + 4 ≡ 0 mod q的所有解（如果存在的话）。

• 第二步：利用q≡1 mod12的条件分析解的存在性
  因为q ≡ 1 mod 12，所以q ≡ 1 mod 3且q ≡ 1 mod 4：

  • 对于q ≡ 1 mod 3，有限域GF(q)的乘法群是阶为q-1的循环群，而3整除q-1，所以三次单位根（满足y³ ≡ 1 mod q的元素）在GF(q)中存在且有3个不同的解。
  • 咱们做个变量替换：令y = x/2（q是奇素数，2在模q下可逆），原同余式转化为(2y)³ ≡ 8 mod q，化简后就是y³ ≡ 1 mod q。这说明原方程的解就是x = 2y，其中y是三次单位根。

• 第三步：计算解的和
  三次单位根满足方程y³ - 1 = (y - 1)(y² + y + 1) = 0，三个根分别是1, ω, ω²（ω是本原三次单位根），它们的和满足1 + ω + ω² = 0（这是三次单位根的基本性质）。
  对应原方程的三个解就是2*1, 2*ω, 2*ω²，它们的和为：
  2*(1 + ω + ω²) ≡ 2*0 ≡ 0 mod q

• 用韦达定理验证
  二次方程x² + 2x + 4 ≡ 0 mod q的两个解，根据韦达定理，和为-2 mod q，加上解x=2，总和是2 + (-2) ≡ 0 mod q，和之前的结论完全一致。

补充一句：q≡1 mod12的条件至关重要，它保证了二次方程x² + 2x + 4 ≡ 0 mod q有两个不同的解（通过勒让德符号可判别式Δ=-12是模q的二次剩余），所以原方程恰好有3个不同的解，它们的和模q为0。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user529584